تصنيف الزمر المنتهية البسيطة

في الرياضيات، تصنيف الزمر المنتهية البسيطة (Classification of finite simple groups)‏ هو نظرية تقرر أن كل زمرة منتهية بسيطة تنتمي إلى واحدة من الفئات الأربع المذكورة أدناه.^[1] يمكن اعتبار هذه الـزمر حجر الأساس لكل الزمر المنتهية، تمامًا مثلما تُعد الأعداد الأولية حجر الأساس للأعداد الطبيعية. إن مبرهنة جوردان–هولدر هي طريقة دقيقة لإقرار هذه الحقيقة عن الزمر المنتهية.

يحتوي البرهان على النظرية على عشرات الآلاف من الصفحات في مئات من مقالات الصحف لمئات المؤلفين، ونُشرت غالبًا بين عامي 1955 و2004. ويقوم كلٌ من غورينشتاين (ت 1922) وليونز، وسولومون بنشر نسخة مبسطة ومنقحة من الدليل بصورة تدريجية.

تاريخ البرهان

برنامج غورينشتاين

في عام 1972، أعلن غورنشتاين (1979, Appendix) عن برنامج لإتمام تصنيف الزمر المنتهية البسيطة، تضم الخطوات الست عشرة التالية:

1. الزمر من الرتبة الثانية المنخفضة. قام غورينشتاين وهارادا (Harada) بذلك في الأساس، وهما اللذان صنفا الزمر في الرتبة القطاعية الثانية و4 على الأكثر. إن أغلب حالات الرتبة الثانية تمت في الوقت الذي أعلن فيه غورينشتاين عن برنامجه.
2. البساطة الجزئية لطبقتين. تكمن المشكلة في إثبات أن طبقتي بؤرة الالتفاف في زمرة بسيطة هو بساطة جزئية.
3. الشكل القياسي في السمة الفردية. إذا كانت زمرة ما تتسم بالتفاف ذي مكونين، فهي زمرة من نوع لي (Lie) من السمة الفردية، ويتمثل الهدف في إثبات أن لديها بؤرة التفاف في "شكل قياسي" مما يعني أن بؤرة الالتفاف بها مكوِّن من نوع لي في السمة الغريبة وأيضًا بها بؤرة من رتبة 2.
4. تصنيف الزمر من النوع الفردي. تكمن المشكلة في إثبات أنه إذا كان لدى زمرةٍ ما بؤرة التفاف في "الشكل القياسي"، فهي زمرة من نوع لي من النوع الفردي. وقام أشباشر (Aschbacher) بحل ذلك من خلال نظرية الالتفاف الكلاسيكي.
5. الشكل شبه القياسي
6. التفافات مركزية
7. تصنيف الزمر المتعاقبة.
8. بعض الزمر المتقطعة
9. الزمر الصغيرة. قام أشباشر في عام 1978 بتصنيف الزمر المنتهية الصغيرة، تلك الزمر ذات الرتبة 2 p وعلى الأكثر 1 للأعداد الأولية الفردية p.
10. الزمر التي تحتوي على زميرة p قوية للp الفردي
11. طريقة المدلل الإشاري للأعداد الأولية الفردية. تتمثل المشكلة الأساسية في إثبات نظرية المدلل الإشاري للمدللات الإشارية غير القابلة للحل. حيث قام ماك برايد (McBride) بحل ذلك في 1982.
12. الزمر من نوع p. تلك هي مشكلة الزمر التي تحتوي على زميرات مشتملة بقوة علىpوعدد فردي p، وهو ما تناوله أشباشر.
13. الزمر شبه الصغيرة. إن الزمرة شبه الصغيرة هي تلك التي تحتوي زميراتها -2 على رتبة -p وعلى الأكثر 2 لكل الأعداد الفردية p، وتتمثل المشكلة في تصنيف البسيط منها من نوع 2. قام أشباشر وسميث بإتمام ذلك في 2004.
14. الزمر من رتبة -2 المنخفضة -3. قام أشباشر بحل هذا من خلال نظرية انقسام إلى ثلاثة أجزاء للزمر ذات e(G)=3.إن التغيير الأساسي هو أن رتبة 2 -3 قد تم استبدالها برتبة 2 p للأعداد الفردية.
15. مراكز ذات 3 عناصر في الشكل المعياري. تم ذلك بشكل أساسي من خلال نظرية انقسام إلى ثلاثة أجزاء.
16. تصنيف الزمر البسيطة من نوع 2. تم ذلك من خلال مبرهنة جيلمان-غريس، ب3 عناصر تم استبدالها ب عناصر-p للأعداد الفردية.

مراجع

• Aschbacher, Michael; Lyons, Richard; Smith, Stephen D.; Solomon, Ronald (2011), The Classification of Finite Simple Groups: Groups of Characteristic 2 Type, 172,  , مؤرشف من الأصل في 15 ديسمبر 2019
• Conway, John Horton; Curtis, Robert Turner; Norton, Simon Phillips; Parker, Richard A; Wilson, Robert Arnott (1985), Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups, Oxford University Press,  
• Gorenstein, D. (1979), "The classification of finite simple groups. I. Simple groups and local analysis", American Mathematical Society. Bulletin. New Series, 1, صفحات 43–199, doi:10.1090/S0273-0979-1979-14551-8, ISSN 0002-9904, MR = 0513750 0513750
• Gorenstein, D. (1982), , New York: Plenum Publishing Corp.,  , MR = 0698782 0698782
• Gorenstein, D. (1983), The classification of finite simple groups. Vol. 1. Groups of noncharacteristic 2 type, Plenum Press,  , MR = 0746470 0746470
• Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem", Scientific American, vol. 253, no. 6, pp. 104–115.
• Gorenstein, D. (1986), "Classifying the finite simple groups", American Mathematical Society. Bulletin. New Series, 14, صفحات 1–98, doi:10.1090/S0273-0979-1986-15392-9, ISSN 0002-9904, MR = 0818060 0818060
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1994), The classification of the finite simple groups, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society,  , MR = 1303592 1303592, مؤرشف من الأصل في 06 ديسمبر 2006
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1996), The classification of the finite simple groups. Number 2. Part I. Chapter G, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society,  , MR = 1358135 1358135, مؤرشف من الأصل في 06 ديسمبر 2006
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1998), The classification of the finite simple groups. Number 3. Part I. Chapter A, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society,  , MR = 1490581 1490581
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1999), The classification of the finite simple groups. Number 4. Part II. Chapters 1–4, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society,  , MR = 1675976 1675976
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2002), The classification of the finite simple groups. Number 5. Part III. Chapters 1–6, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society,  , MR = 1923000 1923000
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2005), The classification of the finite simple groups. Number 6. Part IV, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society,  , MR = 2104668 2104668
• Mark Ronan, Symmetry and the Monster, , Oxford University Press, 2006. (Concise introduction for lay reader)
• Marcus du Sautoy, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008, (another introduction for the lay reader)
• Ron Solomon (1995) "On Finite Simple Groups and their Classification," Notices of the American Mathematical Society. (Not too technical and good on history)
• Solomon, Ronald (2001), "A brief history of the classification of the finite simple groups" ( كتاب إلكتروني PDF ), American Mathematical Society. Bulletin. New Series, 38, صفحات 315–352, doi:10.1090/S0273-0979-01-00909-0, ISSN 0002-9904, MR = 1824893 1824893, مؤرشف من الأصل ( كتاب إلكتروني PDF ) في 24 يوليو 2008 – article won Levi L. Conant prize for exposition
• Thompson, John G. (1984), "Finite nonsolvable groups", in Gruenberg, K. W.; Roseblade, J. E. (المحررون), Group theory. Essays for Philip Hall, Boston, MA: Academic Press, صفحات 1–12,  , MR = 0780566 0780566
• Wilson, Robert A. (2009), The finite simple groups, 251, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-84800-988-2,  , Zbl = complete&q = an:05622792 05622792

وصلات خارجية

• ATLAS of Finite Group Representations. قاعدة بيانات قابلة للبحث للتمثيلات والمعطيات الأخرى لعدد من الزمر المنتهية البسيطة.
• Elwes, Richard, "An enormous theorem: the classification of finite simple groups," Plus Magazine, Issue 41, December 2006. For laypeople.
• Madore, David (2003) Orders of nonabelian simple groups. Includes a list of all nonabelian simple groups up to order 10¹⁰.

للمزيد حول المقال تصفح :

• موسوعة عقد 2000
• موسوعة جبر