Potentiel en 1/r et champ à divergence nulle

On place la charge qui produit le potentiel en O et on regarde alors le potentiel produit en M et son gradient. Dans ce paragraphe, il est supposé que O et M ne sont pas confondus (sinon les formules n'auraient aucun sens car ce serait équivalent à calculer le potentiel de O sur lui-même ce qui est absurde). Posons : ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OM} }}={\vec {r}}=r\,{\vec {e_{r}}}}$. Or, par définition des dérivées partielles : ${\displaystyle \mathrm {d} V={\overrightarrow {\operatorname {grad} }}\,V\cdot \mathrm {d{\overrightarrow {OM}}} =-{\vec {E}}(\mathrm {M} )\cdot \mathrm {d{\overrightarrow {OM}}} }$. Sachant que l'on peut démontrer que ${\displaystyle {\frac {\vec {r}}{r^{3}}}=-{\overrightarrow {\operatorname {grad} }}\,{\frac {1}{r}}}$^[2], on en déduit en multipliant par ${\displaystyle {\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$ que : ${\displaystyle {\vec {E}}(x,y,z)=\left({\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right){\frac {\vec {r}}{r^{3}}}=-{\overrightarrow {\operatorname {grad} }}{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}=-{\overrightarrow {\operatorname {grad} }}\,V(r)}$ avec : ${\displaystyle V(r)={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}}$.

Les champs en ${\displaystyle {\frac {\vec {r}}{\|{\vec {r}}\|^{3}}}}$ sont tels que leur divergence est nulle : ${\displaystyle \operatorname {div} {\frac {\vec {r}}{\|{\vec {r}}\|^{3}}}=0}$.

Théorème de Gauss

Le théorème de flux-divergence est un théorème d'analyse vectorielle, utilisable en électrostatique pour obtenir une équation locale du champ électrique.

Ce théorème indique que la somme des contributions vectorielles normales à des surfaces infinitésimales sur le bord d'un volume peut également s'exprimer comme une somme de surfaces infinitésimales coupant le volume, puisque les contributions des faces situées à l'intérieur se compensent exactement ; il s'écrit formellement :

${\displaystyle \iiint _{v}{\mbox{div}}{\vec {E}}\ dv=\iint _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}}$

pour n'importe quel volume. En particulier, dans une sphère chargée en volume par une densité volumique de charge ρ, ayant son centre en O et de rayon r suffisamment petit pour qu'on puisse négliger les variations de ρ, avec ${\displaystyle {\vec {dS}}=dS{\vec {e_{r}}}}$ le vecteur normal à la surface dirigé vers l'extérieur, et de longueur égale à l'élément de surface dS qu'il représente :

${\displaystyle \iint _{S}{\frac {\vec {r}}{r^{3}}}\cdot d{\vec {S}}=\iint _{S}{\vec {e_{r}}}\cdot {\vec {e_{r}}}\,{\frac {dS}{r^{2}}}=\iint _{S}{\frac {dS}{r^{2}}}={\frac {S}{r^{2}}}={\frac {4\pi r^{2}}{r^{2}}}=4\pi }$

Ce qui signifie que le résultat ne dépend pas de r. Et si on multiplie par ${\displaystyle {\frac {\rho v}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$ où v est le volume de la sphère, on obtient : ${\displaystyle {\frac {\rho v}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iint _{S}{\frac {\vec {r}}{r^{3}}}\cdot d{\vec {S}}=\iint _{S}{\frac {\rho v}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\vec {r}}{r^{3}}}\cdot d{\vec {S}}=\iint _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}={\frac {\rho v}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,4\pi ={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}$ où q est la charge totale ρv de la sphère. Soit finalement : ${\displaystyle \iint _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}=\iiint {\mbox{div}}{\vec {E}}\ dv=\iiint {\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\,dv}$ D'où le théorème de Gauss sous sa version locale :

${\displaystyle {\mbox{div}}{\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

et l'expression intégrée, connue par les physiciens sous le nom de théorème de Gauss :

${\displaystyle \iiint _{V}{\mbox{div}}{\vec {E}}\ dv=\iiint _{V}{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\,dv=\iint _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}}$

L'équation de Poisson

L'équation de Poisson combine les relations précédentes pour donner une relation locale entre la distribution de charge et le potentiel :

${\displaystyle -{\mbox{div}}{\vec {E}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}~V={\vec {\nabla }}^{2}~V=\Delta V=-{\rho \over \varepsilon _{0}}}$

Voir l'article Nabla pour la signification du symbole ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$

On retrouve le fait que les influences des différentes charges s'ajoutent linéairement, c'est-à-dire que pour connaître la force exercée sur une charge électrique par plusieurs autres charges, il suffit de calculer la force qu'exercerait chacune des charges prise isolément, et d'additionner les résultats : on retrouve bien le principe de superposition, autre manière d'exprimer la linéarité de la loi de Coulomb.

La loi de Coulomb est très proche de l'expression des forces gravitationnelles ; mais ces dernières sont (pour une particule donnée) beaucoup plus faibles. Pourtant, les forces électrostatiques ont peu d'effet à grande échelle, tandis que la gravitation explique le mouvement des astres.

Cela provient du fait qu'en moyenne, la matière contient autant de charges positives que de charges négatives et donc, au-delà de l'échelle des inhomogénéités, leurs influences se compensent. Pour la gravitation, au contraire, dont l'expression de la force a un signe opposé à celui de l'électrostatique, bien que les masses aient toutes le même signe positif, elles s'attirent toutes, au lieu de se repousser comme le font des charges électriques de même signe.

Champ électrique créé par quelques distributions de charges

Les champs électriques peuvent rarement être calculés analytiquement par le calcul direct de la dernière formule mais peuvent toujours être calculés numériquement, surtout avec les progrès de l'informatique.

Lorsqu'il existe des symétries, on peut souvent faire le calcul en appliquant le théorème de Gauss au champ électrique :

Le flux du champ électrique à travers une surface fermée S est proportionnel à la somme des charges qui sont à l'intérieur de cette surface.

${\displaystyle \iint _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$

Voici quelques exemples de résultats de calcul pour des distributions de charges symétriques.

Fil rectiligne infini

On suppose un fil rectiligne infini, pris suivant l'axe Oz de densité linéique de charge λ, à distance r du fil : Pour un point M, le plan passant par M contenant l'axe Oz est un plan de symétrie, ainsi que celui passant par M et orthogonal à l'axe Oz ; on en déduit que le champ résultant n'a de composante que suivant : ${\displaystyle {\vec {e_{r}}}:{\vec {E}}(r,\theta ,z)=E_{r}(r,\theta ,z)\,{\vec {e_{r}}}}$

Les invariances par translation suivant Oz et par rotation suivant θ permettent de déduire que E_r ne doit pas dépendre des variables z et θ et donc : ${\displaystyle {\vec {E}}(r)=E_{r}(r)\,{\vec {e_{r}}}}$

Si pour appliquer le théorème de Gauss, on choisit un cylindre passant par M, d'axe Oz, de rayon r et d'épaisseur élémentaire dz : ${\displaystyle \iint _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}=\iint _{S}E_{r}(r){\vec {e_{r}}}\cdot {\vec {e_{r}}}\,dS=E_{r}(r)\iint _{S}dS=E_{r}(r)(2\pi r\,dz)={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}={\frac {\lambda dz}{\varepsilon _{0}}}}$

et on obtient finalement : ${\displaystyle E_{r}(r)={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}}$

Plan infini

Soit un plan infini, uniformément chargé en surface, de densité surfacique de charge σ, à distance r du plan. Comme le système est invariant par translation parallèle au plan, le champ ne peut être que perpendiculaire au plan. D'autre part, les champs sont directement opposés en deux points symétriques par rapport au plan. Si M est à la distance z du plan, considérons un prisme élémentaire symétrique par rapport au plan et dont une base, de surface dS, passe par M : ${\displaystyle \iint _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}=2E(z)\,dS={\frac {\sigma \,dS}{\varepsilon _{0}}}}$ d'où ${\displaystyle E(z)={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}}sgn(z)}$ La valeur absolue du champ est constante dans tout l'espace. Son sens change entre les deux côtés du plan ; il est donc discontinu au niveau du plan.

Sphère creuse

Soit une sphère creuse de diamètre R, uniformément chargée en surface, de densité surfacique de charge σ, à distance r du centre :

• à l'intérieur (r < R) : ${\displaystyle E(r)=0\quad }$ ;
• juste à l'extérieur de la surface (r = R+0) : ${\displaystyle E(r)={\frac {\sigma }{\varepsilon _{0}}}}$. À nouveau, le champ est discontinu au niveau d'une surface chargée ;
• à l'extérieur (r > R) : ${\displaystyle E(r)={\frac {\sigma }{\varepsilon _{0}}}{\frac {R^{2}}{r^{2}}}}$.

Sphère pleine

Soit une sphère pleine de diamètre R, uniformément chargée en volume, de densité volumique de charge ρ, à distance r du centre :

• à l'intérieur (r < R) : ${\displaystyle E(r)={\frac {\rho }{3\varepsilon _{0}}}r}$ ;
• à la surface (r =R) : ${\displaystyle E(r)={\frac {\rho }{3\varepsilon _{0}}}R}$ ;
• à l'extérieur (r > R) : ${\displaystyle E(r)={\frac {\rho }{3\varepsilon _{0}}}{\frac {R^{3}}{r^{2}}}}$.

Conséquence du théorème de Gauss, nous retrouvons dans les deux cas à l'extérieur de la sphère un champ égal à celui d'une charge Q ponctuelle placée au centre de la sphère : ${\displaystyle E(r)=4\pi \sigma R^{2}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}}$ respectivement : ${\displaystyle E(r)={\frac {4\pi \rho R^{3}}{3}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}}$

Exemples de potentiels

Potentiel d'un fil fini (-a, a) en b dans son prolongement : ${\displaystyle V(b)=\int _{-a}^{a}\,{\frac {\lambda }{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {dx}{b-x}}={\frac {\lambda }{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\ln \,{\frac {b+a}{b-a}}}$

Potentiel d'un disque chargé de rayon R à une distance z de son centre le long de son axe : ${\displaystyle V(z)={\frac {\sigma }{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{0}^{R}{\frac {2\pi r\,dr}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}}\left({\sqrt {R^{2}+z^{2}}}-z\right)}$

Un fil fini : calcul direct du champ produit

Supposons que l'on ait l'axe des x chargé sur un segment AB avec une densité de charge linéique constante λ et, un point M (x_M, y_M) dans le plan xOy où l'on veut déterminer le champ produit par les charges réparties sur AB.

Considérons le point P(x, 0). Il est dans un intervalle dx de AB ayant une charge λdx. Ces charges créent en M un champ. Posons PM = r : ${\displaystyle {\vec {E}}(M)=\int _{a}^{b}\!\!d{\vec {E}}(M)={\frac {\lambda }{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{a}^{b}\!\!{\frac {\overrightarrow {PM}}{r^{3}}}dx={\frac {\lambda }{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{a}^{b}\!\!\left({\frac {(x_{M}-x){\vec {i}}+y_{M}{\vec {j}}}{r^{3}}}\right)dx}$ ${\displaystyle =\left({\frac {\lambda }{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{a}^{b}{\frac {(x_{M}-x)}{r^{3}}}\right)dx\,{\vec {i}}+\left({\frac {\lambda }{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{a}^{b}{\frac {y_{M}}{r^{3}}}\right)dx\,{\vec {j}}}$

Il reste à faire les deux intégrales sur x pour obtenir les composantes de : ${\displaystyle {\vec {E}}(x_{M},y_{M})=E_{x}(x_{M},y_{M})\,{\vec {i}}+E_{y}(x_{M},y_{M})\,{\vec {j}}}$

En constatant que : ${\displaystyle {\frac {(x_{M}-x)}{r}}=\sin \alpha \ ,\ {\frac {y_{M}}{r}}=\cos \alpha }$ on déduit : ${\displaystyle {\frac {(x_{M}-x)}{y_{M}}}=\tan \,\alpha }$ où α est le complémentaire de l'angle BPM, ${\displaystyle {\frac {\lambda }{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{a}^{b}{\frac {x_{M}-x}{r^{3}}}\,dx={\frac {\lambda }{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{a}^{b}{\frac {(x_{M}-x)dx}{r^{3}}}=-{\frac {\lambda }{4\pi \varepsilon _{0}y_{M}}}\int _{\alpha _{1}}^{\alpha _{2}}\!\!\sin \alpha \,d\alpha }$ facile à intégrer On a utilisé : ${\displaystyle dx={\frac {-y_{M}}{\cos ^{2}\alpha }}\,d\alpha \ ,\ {\frac {1}{r^{2}}}={\frac {\cos ^{2}\alpha }{y_{M}^{2}}}\ {\text{et}}\ {\frac {x_{M}-x}{r}}=\sin \alpha }$

Bibliographie

Expérience au Palais de la découverte à Paris.

Articles connexes

Liens externes

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• Une vidéo explicative sur les lignes de champ électrostatique