Pour un point

Dans un référentiel galiléen, pour un point matériel ${\displaystyle M}$ de masse constante parcourant un chemin ${\displaystyle \Gamma }$ entre un point ${\displaystyle A}$ et un point ${\displaystyle B}$ :

La variation d’énergie mécanique de ${\displaystyle M}$ entre ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ est égale à la somme des travaux ${\displaystyle W_{\Gamma }^{nc}}$ des forces non conservatives qui s'exercent sur le point ${\displaystyle M}$ le long du chemin ${\displaystyle \Gamma }$ :

${\displaystyle {\underset {A\rightarrow B}{\Delta }}\ \mathrm {E} _{m}=\mathrm {E} _{m}^{B}-\mathrm {E} _{m}^{A}=\sum {W_{\Gamma }^{nc}}}$

avec ${\displaystyle \mathrm {E} _{m}^{A}}$ et ${\displaystyle \mathrm {E} _{m}^{B}}$ les énergies mécaniques du point ${\displaystyle M}$ respectivement aux positions ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$. Le résultat ne dépend pas du chemin ${\displaystyle \Gamma }$ emprunté entre ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$, ce qui découle du caractère exact de la différentielle de l'énergie mécanique.

Démonstration

La différentielle de l'énergie mécanique vaut :

${\displaystyle \mathrm {d} \mathrm {E} _{m}=\mathrm {d} \mathrm {E} _{c}+\mathrm {d} \mathrm {E} _{p}}$

Or d'après le théorème de l'énergie cinétique et la définition des forces conservatives, on a :

${\displaystyle \mathrm {d} \mathrm {E} _{c}=\delta W(F_{c})+\delta W(F_{nc})\qquad }$et ${\displaystyle \qquad \mathrm {d} \mathrm {E} _{p}=-\delta W(F_{c})}$

avec ${\displaystyle \delta W(F_{c})}$ le travail des forces conservatives, et ${\displaystyle \delta W(F_{nc})}$ le travail des forces non conservatives.

D'où : ${\displaystyle \mathrm {d} \mathrm {E} _{m}=\delta W(F_{nc})}$

On obtient alors le théorème en intégrant le long du chemin.

L’énergie mécanique d'un point ${\displaystyle M}$ soumis uniquement à des forces conservatives est donc conservée, c'est-à-dire quelle est constante le long du chemin emprunté par le point.

La dérivée par rapport au temps de l'énergie mécanique est égale à la puissance des forces non conservatives^[1] :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathrm {E} _{m}}{\mathrm {d} t}}=P_{nc}}$

Pour un solide

Dans un référentiel galiléen, pour un solide ${\displaystyle S}$ déformable^{[N 1]} de masse constante parcourant un chemin ${\displaystyle \Gamma }$ reliant un point ${\displaystyle A}$ à un point ${\displaystyle B}$ :

La variation d’énergie mécanique de ${\displaystyle S}$ est égale à la somme des travaux ${\displaystyle W_{nc}^{\Gamma }}$ des forces non conservatives intérieures et extérieures qui s'exercent sur et dans le solide le long de ${\displaystyle \Gamma }$ :

${\displaystyle {\underset {A\rightarrow B}{\Delta }}\ \mathrm {E} _{m}=\mathrm {E} _{m}^{B}-\mathrm {E} _{m}^{A}=\sum {W_{nc,int}^{\Gamma }}+\sum {W_{nc,ext}^{\Gamma }}}$

avec ${\displaystyle \mathrm {E} _{m}^{A}}$ et ${\displaystyle \mathrm {E} _{m}^{B}}$ les énergies mécaniques du solide ${\displaystyle S}$ respectivement aux positions ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$. Le résultat ne dépend pas du chemin ${\displaystyle \Gamma }$ emprunté entre ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$, ce qui découle du caractère exact de la différentielle de l'énergie mécanique.

La dérivée par rapport au temps de l'énergie mécanique est égale à la somme des puissances des forces non conservatives intérieures et extérieures :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathrm {E} _{m}}{\mathrm {d} t}}=P_{nc}^{\ int}+P_{nc}^{\ ext}}$

En mécanique des fluides, le théorème de Bernoulli énonce la conservation de l'énergie mécanique d'une particule fluide le long d'une ligne de courant^{[N 2]}.

Notes

Références

Articles connexes

• Énergie cinétique
• Énergie potentielle
• Force conservative
• Machine d'Atwood

Liens externes

• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :

  • Britannica
  • Store norske leksikon
• http://www.universalis.fr/encyclopedie/energie-mecanique/