Loi des cosinus

Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.

La loi des cosinus s'énonce de la façon suivante :

Soit un triangle ABC, dans lequel on utilise les notations usuelles exposées sur la figure 1 : d'une part α, β et γ pour les angles et, d'autre part, a, b et c pour les longueurs des côtés respectivement opposés à ces angles. Alors l'égalité suivante est vérifiée :

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\ \cos \ \gamma .}$

Al-Kashi est crédité de l'énonciation de ce théorème dans son livre Miftah al-hisab (« Clé de l'arithmétique »).

Risala al-mouhitiyy (« Traité de la circonférence ») et calcul de π

En 1424, dans son ouvrage intitulé Risala al-mouhitiyy (« Traité de la circonférence »)^[2], à partir de la méthode des polygones d'Archimède, en utilisant exclusivement la base 60 (sexagésimale)^[2], al-Kashi calcule 10 chiffres sexagésimaux de π, soit 16 chiffres décimaux exacts^[3]. Il publie ainsi le calcul suivant :

2π = 6 * 60⁰ + 16 * 60⁻¹ + 59 * 60⁻² + 28 * 60⁻³ + 1 * 60^-4 + 34 * 60^-5 + 51 * 60^-6 + 46 * 60^-7 + 14 * 60^-8 + 50 * 60^-9,

ce qui donne, en décimal : π = 3,1415926535897932…

La valeur la plus précise obtenue jusque-là était celle du mathématicien chinois Zu Chongzhi (vers l'an 465) qui, par la méthode des périmètres, avait obtenu l'encadrement : 3,1415926 < π < 3,1415927.
Vers 1410, et de manière indépendante, le mathématicien indien Madhava avait déjà obtenu 11 décimales de π à l'aide d'une variante de la formule de Gregory.

Ce record sera battu 170 ans plus tard, en 1596, par l'Allemand van Ceulen, avec 20 décimales^[4].

Miftah al-hisab (« Clé de l'arithmétique »)

Dans cette œuvre terminée en 1427, Al-Kashi utilise l'arithmétique pour résoudre des problèmes relevant de divers domaines tels que l'astronomie, la finance ou l'architecture^[2].