Définition du barycentre par une relation vectorielle

On définit le barycentre de deux points A et B du plan affectés des coefficients de pondération a et b (avec la somme a + b non nulle) comme l'unique point G vérifiant la relation vectorielle

${\displaystyle a\,{\overrightarrow {GA}}+b\,{\overrightarrow {GB}}={\overrightarrow {0}}\,.}$

En effet, à l'aide de la relation de Chasles, cette relation peut se réécrire sous la forme

${\displaystyle a\,{\overrightarrow {GA}}+b\,({\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {AB}})={\overrightarrow {0}}\,,}$

c'est-à-dire

${\displaystyle (a+b)\,{\overrightarrow {GA}}+b\,{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {0}}\,,}$

ou de manière équivalente

${\displaystyle (a+b)\,{\overrightarrow {AG}}=b\,{\overrightarrow {AB}}\ .}$

Comme la somme a + b est non nulle, il existe donc un unique point G qui satisfait cette équation. Il est donné par la relation

${\displaystyle {\overrightarrow {AG}}={\frac {b}{a+b}}\,{\overrightarrow {AB}}\,.}$

On dit alors que G est le barycentre des points A et B affectés des coefficients de pondération a et b ; on note G = bar{(A,a),(B,b)}. On remarque, d'après l'égalité vectorielle ci-dessus que G appartient à la droite (AB).

La réciproque est d'ailleurs vraie : tout point de la droite (AB) peut être considéré comme un barycentre des points A et B

Si les coefficients de pondération sont de même signe le barycentre des points A et B sera situé sur le segment [AB]

Dans le cas particulier où a = b, on parle plutôt d'isobarycentre. Dès lors, l'isobarycentre de deux points A et B correspond au milieu de ces deux points.

Les points A et B étant donnés, la construction géométrique du barycentre G de ces deux points se fait grâce au théorème de Thalès.

Certains logiciels de géométrie dynamique (LGD) définissent G=bar{(A,a),(B,b)} par G = a*A+b*B

Colinéarité

De la définition

${\displaystyle a\,{\overrightarrow {GA}}+b\,{\overrightarrow {GB}}={\overrightarrow {0}},}$

on tire que

${\displaystyle a\,{\overrightarrow {GA}}=(-b)\,{\overrightarrow {GB}}}$

ou encore que

${\displaystyle {\overrightarrow {GA}}=-{\frac {b}{a}}\,{\overrightarrow {GB}}.}$

En d'autres termes, ces deux vecteurs sont colinéaires. Ils ont de plus un point en commun, G. Par conséquent, G appartient à la droite (AB). Ainsi

si G est le barycentre de {(A,a),(B,b)} alors G appartient à la droite (AB).

Si G est sur le segment [AB] (entre A et B) alors

${\displaystyle {\overrightarrow {GA}}=k\,{\overrightarrow {GB}}}$

pour un certain k< 0 puisque ces deux vecteurs sont de sens opposé. Mais, comme dans le même temps

${\displaystyle {\overrightarrow {GA}}=-{\frac {b}{a}}\,{\overrightarrow {GB}},}$

on en déduit que b et a sont de même signe. Ainsi

Si G est sur le segment [AB] (entre A et B) alors a et b sont de même signe.

Homogénéité

Si G est le barycentre de {(A,a),(B,b)} alors

${\displaystyle a\,{\overrightarrow {GA}}+b\,{\overrightarrow {GB}}={\overrightarrow {0}}}$

et il vient que pour tout réel k on a

${\displaystyle k\,\left(a\,{\overrightarrow {GA}}+b\,{\overrightarrow {GB}}\right)={\overrightarrow {0}}.}$

Autrement dit, on obtient

${\displaystyle (ka)\,{\overrightarrow {GA}}+(kb)\,{\overrightarrow {GB}}={\overrightarrow {0}}.}$

De plus, comme a+b est non nul, pour tout k réel non nul, k(a+b) est également non nul. Alors G est le barycentre de {(A,ka),(B,kb)}. Ainsi

si G est le barycentre de {(A,a),(B,b)} alors pour tout k réel non nul, G est aussi le barycentre de {(A,ka),(B,kb)}.

Autrement dit le barycentre de deux points reste inchangé si les coefficients de pondération de ces points sont multipliés par un même réel.

Cette propriété du barycentre s'appelle l'homogénéité.

Réduction

L'application de la relation de Chasles

${\displaystyle a\,{\overrightarrow {MA}}+b\,{\overrightarrow {MB}}}$

en introduisant le barycentre G de {(A,a),(B,b)} donne

${\displaystyle a\,{\overrightarrow {MA}}+b\,{\overrightarrow {MB}}=a\,({\overrightarrow {MG}}+{\overrightarrow {GA}})+b\,({\overrightarrow {MG}}+{\overrightarrow {GB}})=a\,{\overrightarrow {MG}}+b\,{\overrightarrow {MG}}+a\,{\overrightarrow {GA}}+b\,{\overrightarrow {GB}}.}$

G étant barycentre de {(A,a),(B,b)} alors :

${\displaystyle a\,{\overrightarrow {GA}}+b\,{\overrightarrow {GB}}={\overrightarrow {0}}.}$

La relation précédente devient:

${\displaystyle a\,{\overrightarrow {MA}}+b\,{\overrightarrow {MB}}=a\,{\overrightarrow {MG}}+b\,{\overrightarrow {MG}}+{\overrightarrow {0}}=(a+b)\,{\overrightarrow {MG}}.}$

Ainsi

si G est le barycentre de {(A,a),(B,b)} alors pour tout point M du plan,

${\displaystyle a\,{\overrightarrow {MA}}+b\,{\overrightarrow {MB}}=(a+b)\,{\overrightarrow {MG}}}$.

C'est la propriété dite de réduction, ou réduction de somme vectorielle.

Elle permet de positionner le point G par rapport à tout point M. Si M est l'origine d'un repère du plan ou de l'espace, elle permet de définir les coordonnées (x_G,y_G) du point G dans ce repère en fonction des coordonnées (x_A,y_A) et (x_B,y_B) des points A et B dans ce repère:

${\displaystyle x_{G}={\frac {a\,x_{A}+b\,x_{B}}{a+b}},}$

${\displaystyle y_{G}={\frac {a\,y_{A}+b\,y_{B}}{a+b}}.}$

En géométrie

Figure 1.

En géométrie affine, les barycentres (et tout particulièrement les isobarycentres) facilitent grandement les problèmes d'alignement et de concours (trois points sont alignés dès que l'un des points est barycentre des deux autres) et permettent des démonstrations élégantes de théorèmes comme le théorème de Ménélaüs, le théorème de Ceva ou les propriétés du quadrilatère complet.

Par exemple, pour le théorème de Ceva, considérons la figure ci-contre (figure 1), les graduations sur chaque côté sont régulières. Le théorème de Ceva affirme que les droites (AM), (BN) et (CP) sont concourantes.

Réduction des fonctions de Leibniz

Grâce à la notion de barycentre, il est possible de réduire des expressions vectorielles.

Prenons l'exemple de 3 points A, B et C de poids a, b et c (de somme non nulle) et considérons le barycentre G de ces trois points. La formule du premier degré est celle du barycentre :

${\displaystyle a\,{\overrightarrow {MA}}+b\,{\overrightarrow {MB}}+c\,{\overrightarrow {MC}}=(a+b+c)\,{\overrightarrow {MG}}}$

qui permet de nombreux calculs du premier degré sur les vecteurs.

À partir du barycentre il est possible de définir une formule du second degré, au sens du produit scalaire des vecteurs, qui permet de calculer la quantité

${\displaystyle r=a\,{\overrightarrow {MA}}^{2}+b\,{\overrightarrow {MB}}^{2}+c\,{\overrightarrow {MC}}^{2}.}$

Pour cela, remplaçons chaque vecteur ${\displaystyle \textstyle {\overrightarrow {MX}}}$ par ${\displaystyle \textstyle ({\overrightarrow {MG}}+{\overrightarrow {GX}})}$ et appliquons la formule du carré d'une somme:

${\displaystyle r=a\,{\overrightarrow {MA}}^{2}+b\,{\overrightarrow {MB}}^{2}+c\,{\overrightarrow {MC}}^{2}=a\,({\overrightarrow {MG}}+{\overrightarrow {GA}})^{2}+b\,({\overrightarrow {MG}}+{\overrightarrow {GB}})^{2}+c\,({\overrightarrow {MG}}+{\overrightarrow {GC}})^{2}}$

${\displaystyle r=(a+b+c)\,{\overrightarrow {MG}}^{2}+a\,{\overrightarrow {GA}}^{2}+b\,{\overrightarrow {GB}}^{2}+c\,{\overrightarrow {GC}}^{2}+2{\overrightarrow {MG}}\cdot (a\,{\overrightarrow {GA}}+b\,{\overrightarrow {GB}}+c\,{\overrightarrow {GC}})}$

Les doubles produits s'annulent, d'où

${\displaystyle a\,{\overrightarrow {MA}}^{2}+b\,{\overrightarrow {MB}}^{2}+c\,{\overrightarrow {MC}}^{2}=(a+b+c)\,{\overrightarrow {MG}}^{2}+(a\,{\overrightarrow {GA}}^{2}+b\,{\overrightarrow {GB}}^{2}+c\,{\overrightarrow {GC}}^{2})}$

au second degré.

En physique

Le barycentre est tout d'abord un outil utilisé pour calculer des points d'équilibre de points matériels, et plus généralement ensuite de centres d'inertie (aussi appelé centre de masse) dans certains cas. La notion même de centre d'inertie peut être vue comme une généralisation du barycentre à un continuum de points matériels.

En effet, si on considère un domaine D de volume fini de l'espace dont la masse volumique au point M est donnée par g(M), alors le centre d'inertie G de D est défini comme le point de l'espace vérifiant

${\displaystyle \int _{\mathrm {D} }g(M){\overrightarrow {GM}}\,\mathrm {d} V={\overrightarrow {0}}}$

qui généralise la formule

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overrightarrow {GA_{i}}}={\overrightarrow {0}}}$.

définissant le barycentre G des points matériels A_i de masse a_i = g(A_i).

Les coordonnées du centre d'inertie sont données par

${\displaystyle x_{j,\mathrm {G} }={\frac {\iiint g(x_{1},x_{2},x_{3})\,x_{j}~\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2}\mathrm {d} x_{3}}{\iiint g(x_{1},x_{2},x_{3})~\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2}\mathrm {d} x_{3}}},\quad j\in \{1,2,3\},}$

qui généralise celles des coordonnées du barycentre G des points matériels A_i de masse a_i données par

${\displaystyle x_{j,\mathrm {G} }={\frac {\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{j,A_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}},\quad j\in \{1,2,3\}.}$

Dans certains cas particuliers, le calcul du centre d'inertie se ramène à un simple calcul de barycentre. Par exemple, on peut se servir des barycentres pour calculer le centre d'inertie d'une plaque homogène ayant une forme polygonale.

Animation impliquant 2 corps de faible différence de masse. Le barycentre se trouve à l'extérieur du corps principal comme dans le cas du couple Pluton/Charon.

Le barycentre est également utilisé en astronomie. On parle de barycentre en ce qui concerne le couple formé par un corps stellaire et l'un de ses satellites. Le barycentre est le point autour duquel l'objet secondaire gravite.

Définition

Soient (A₁, … , A_n) des points de E et soient (a₁, … , a_n) des scalaires (c'est-à-dire d'éléments de K) de somme non nulle.

Le barycentre des points (A₁, … , A_n) affectés des coefficients (a₁, … , a_n) est l'unique point G de E tel que

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\,{\overrightarrow {GA_{i}}}={\overrightarrow {0}}}$.

L'existence et l'unicité de ce point se prouvent aisément en utilisant la relation de Chasles.

On peut noter bar(A_i, a_i)_{i=1, … ,n}, ou ${\displaystyle {\text{bar}}{\begin{pmatrix}A_{1}&\cdots &A_{n}\\a_{1}&\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}}$, ou encore ${\displaystyle {\frac {1}{\sum a_{i}}}\sum a_{i}A_{i}}$, le barycentre des points (A₁, … , A_n) affectés des coefficients (a₁, … , a_n).

Dans le cas particulier où a₁ = a₂ = … = a_n, on parle d'isobarycentre.

Propriétés immédiates

Commutativité : on peut changer l'ordre des points sans changer la valeur du barycentre tant que les points conservent leur coefficient.

Homogénéité : on peut multiplier tous les coefficients par un même scalaire k non nul sans changer la valeur du barycentre. On privilégie alors souvent les coefficients dont la somme vaut 1.

Associativité : si

${\displaystyle a:=\sum a_{i}\neq 0,\quad b:=\sum b_{j}\neq 0\quad {\text{et}}\quad c:=a+b\neq 0}$,

on peut définir

${\displaystyle A={\frac {1}{a}}\sum a_{i}A_{i}\quad {\text{et}}\quad B={\frac {1}{b}}\sum b_{j}B_{j}}$

et l'on a l'égalité suivante :

${\displaystyle {\frac {1}{c}}\left(\sum a_{i}A_{i}+\sum b_{j}B_{j}\right)={\frac {1}{c}}\left(aA+bB\right)}$.

Cette propriété se généralise à un regroupement de p sous-familles de coefficients.

Coordonnées barycentriques

Si l'espace affine E est associé à un espace vectoriel V de dimension n, et si (A₀,...,A_n) sont n + 1 points de E, on dit que ces n+1 points forment un repère barycentrique si les vecteurs

${\displaystyle \left({\overrightarrow {A_{0}A_{i}}}\right)_{i=1...n}}$

forment une base de V. On démontre, grâce à la relation de Chasles, que cette propriété est indépendante de l'ordre des points.

Si (A₀,...,A_n) forment un repère barycentrique de E alors tout point M de E peut être trouvé comme barycentre des (A₀,...,A_n) avec, par homogénéité (voir supra), des coefficients (a₀,...,a_n) de somme 1. Ils sont appelés les coordonnées barycentriques de M.

Variété affine

On appelle variété affine d'un espace affine E toute partie de E stable par barycentres. On démontre que cette définition coïncide avec celle de sous-espace affine.

Le sous-espace affine engendré par une famille de n points (A₁,...,A_n) est le plus petit ensemble contenant ces points et stable par barycentres.

Par exemple, le sous-espace affine engendré par deux points non confondus est une droite affine, et le sous-espace affine engendré par trois points non alignés est un plan affine.

Segments, ensemble convexe

Soit E un espace affine sur R. Si A et B sont deux points distincts de E, l'ensemble des points

${\displaystyle M=\mathrm {bar} ((A,k),(B,1-k)),}$

où k est un élément de [0, 1], est une partie de la droite (AB) appelé segment [AB]. C'est aussi l'ensemble des points

${\displaystyle M=\mathrm {bar} ((A,a),(B,b))}$

où a et b sont deux réels positifs (au sens large).

Un ensemble stable par barycentres à coefficients positifs est un ensemble convexe.

L'ensemble des combinaisons convexes des points (A₁,...,A_n), c'est-à-dire de leurs barycentres à coefficients positifs, est l'enveloppe convexe des points (A₁,...,A_n).

Application affine

Soit E₁ et E₂ deux espaces affines et soit f une application de E₁ dans E₂. On dit que f conserve le barycentre si pour tout barycentre

${\displaystyle G=\mathrm {bar} (\left(A_{i},a_{i})\right)_{i=1...n}}$

de E₁, on a

${\displaystyle f(G)=\mathrm {bar} (\left(f(A_{i}),a_{i})\right)_{i=1...n},}$

c'est-à-dire que l'image de G par f est le barycentre appartenant à E₂ des points f(A_i) affectés des points a_i.

La propriété d'associativité du barycentre permet de se limiter à vérifier la conservation pour tout barycentre de deux points.

On démontre que l'ensemble des applications de E₁ vers E₂ conservant le barycentre coïncide avec celui des applications affines de E₁ vers E₂.

Certaines applications affines s'expriment bien à l'aide du barycentre. Voici deux exemples.

• Soient A et B deux points, la transformation qui, au point M associe le point

${\displaystyle M'=\mathrm {bar} ((B,1),(A,-1),(M,1))}$

est une translation, qui a pour vecteur ${\displaystyle \textstyle {\overrightarrow {AB}}}$.

• Soient C un point et k un scalaire non nul. La transformation qui au point M associe le point

${\displaystyle M'=\mathrm {bar} ((C,1-k),(M,k))}$

est l'homothétie de centre C et rapport k.

Articles connexes

• Théorème de Leibniz
• Centre de masse (géométrie riemannienne)
• Centre de gravité d'un arc de courbe
• Moyenne pondérée

Bibliographie

• Michèle Audin, Géométrie, EDP Sciences, 2006, 3^e éd., 428 p. (ISBN 978-2-7598-0180-0, présentation en ligne), p. 29
• Marcel Berger, Géométrie [détail des éditions] (Tome 1)
• Petite encyclopédie de mathématique, Didier
• Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 (ISBN 978-2-91-635208-4)
• Jean Fresnel, Méthodes modernes en géométrie
• Bruno Ingrao, Coniques projectives, affines et métriques, Calvage & Mounet (ISBN 978-2916352121)
• D. Lehmann et Rudolf Bkouche, Initiation à la géométrie, PUF, 1988 (ISBN 2 13 040160 0)