Les entiers et les bons ordres

Si l'on reprend la définition d'ensemble fini en théorie des ensembles d'un point de vue plus axiomatique, elle repose sur la définition qu'on y donne des entiers. Dans la théorie de Zermelo ou de Zermelo-Fraenkel, l'ensemble des entiers naturels, noté ω, est le plus petit ensemble auquel appartient 0 et clos par successeur, où 0 est l'ensemble vide et le successeur d'un ensemble x est l'ensemble obtenu en lui ajoutant x comme élément : le successeur de x est x ∪ {x}. On montre que l'ensemble des entiers naturels est bien ordonné par l'appartenance (comme ordre strict), et donc ses éléments, qui sont aussi des sous-ensembles, le sont aussi. L'ordre large correspondant est l'inclusion ensembliste.

Une caractérisation plus directe, et qui ne nécessite pas l'axiome de l'infini, est de définir les entiers comme les ordinaux finis :

Un ordinal est fini quand tout ordinal non nul qui lui est inférieur ou égal a un prédécesseur^[3]

ou, ce qui est équivalent^[4], quand toute partie non vide de cet ordinal admet un plus grand élément, autrement dit :

Un ordinal est fini quand son ordre opposé est un bon ordre.

On appellera dans la suite entiers de von Neumann les ordinaux finis. En présence de l'axiome de l'infini (déjà dans la théorie de Zermelo), ce sont les éléments de ω.

Tout ensemble fini, c'est-à-dire en bijection avec un entier de von Neumann, est muni, en transférant l'ordre par la bijection, d'un bon ordre dont l'opposé est un bon ordre. Réciproquement, tout ensemble muni d'un tel ordre est fini, car tout bon ordre est isomorphe à un ordinal. Par conséquent :

Un ensemble est fini si et seulement s'il existe un bon ordre sur celui-ci dont l'ordre opposé est aussi un bon ordre^[5].

Tous les ordres totaux sur un ensemble fini étant isomorphes, on en déduit :

Un ensemble bien ordonné est fini si et seulement si l'ordre opposé est aussi un bon ordre.

Les définitions de Tarski et de Russell-Whitehead

Alfred Tarski a donné en 1924^[6] une définition des ensembles finis (reprise dans certains ouvrages plus récents^[7],[8]) qui ne réfère pas à une définition préalable des entiers et qui s'avère équivalente à la précédente dans une théorie des ensembles sans axiome du choix :

Un ensemble E est fini au sens de Tarski quand toute famille non vide de parties de E admet un élément minimal pour l'inclusion,

ou encore (par passage aux complémentaires) quand toute famille non vide de parties de E admet un élément maximal pour l'inclusion.

Cette définition est équivalente à une caractérisation inductive des ensembles finis, donnée par Russell et Whitehead dans le volume II (1912) des Principia Mathematica^[9],[10] :

Un ensemble E est fini (au sens de Russell et Whitehead) quand E appartient à toute famille S de parties de E qui vérifie les deux conditions :

• ∅ ∈ S (l'ensemble vide appartient à S) ;
• Si A ∈ S et x ∈ E, alors A ∪ {x} ∈ S (si A appartient à S, toute partie obtenue en ajoutant un élément de E à A appartient également à S).

On montre l'équivalence entre les trois définitions données d'ensemble fini : en bijection avec un entier de von Neumann, fini au sens de Tarski, fini au sens de Russell-Whitehead, et ceci dans une théorie des ensembles faible (la théorie de Zermelo sans l'axiome de l'infini), en particulier sans l'axiome du choix.

La définition de Dedekind

Un ensemble E est dit fini au sens de Dedekind (en) s'il ne peut pas être mis en bijection avec l'une de ses parties propres (ou encore : toute injection de E dans lui-même est surjective). Dedekind est le premier à donner une définition des ensembles infinis, en 1888 dans Was sind und was sollen die Zahlen, et celle-ci revient à prendre le principe des tiroirs de Dirichlet comme caractérisation des ensembles finis^[11].

Si E est fini (au sens utilisé précédemment), alors E est fini au sens de Dedekind, mais la réciproque nécessite un axiome supplémentaire (plus faible cependant que l'axiome du choix dénombrable)^[12].

Les premiers axiomes

En dehors de l'axiome d'extensionnalité et de l'axiome de fondation, les axiomes de la théorie des ensembles ZFC peuvent s'interpréter comme des propriétés d'existence d'ensembles, ou de clôture sous certaines constructions.

Les ensembles finis satisfont le schéma d'axiomes de compréhension, puisque tout sous-ensemble d'un ensemble fini est fini (en particulier l'ensemble vide), l'axiome de la paire, puisqu'une paire de deux ensembles quelconques est finie, l'axiome de l'ensemble des parties, comme vu ci-dessus, mais pas l'axiome de la réunion, puisqu'il n'y a pas de raison que les éléments d'un ensemble fini soient des ensembles finis. Si cette condition est satisfaite on a vu que l'axiome est réalisé.

Le schéma de remplacement

L'image d'un ensemble fini par une classe fonctionnelle est un ensemble fini : c'est la version pour les ensembles finis du schéma d'axiomes de remplacement. Celui-ci a pour conséquence que la classe fonctionnelle en question est une fonction, et nous avons vu que l'image d'un ensemble fini par un ensemble fini est fini. cependant, dans le cas des ensembles finis, le schéma de remplacement n'ajoute rien. On peut démontrer directement, en utilisant l'axiome de la paire et de la réunion, que la classe fonctionnelle est finie, et donc le schéma de remplacement est superflu (il faut également le schéma de compréhension).

L'axiome du choix

Étant donné un ensemble fini E = {A₁… , A_n} d'ensembles non vides, une fonction de choix f sur E associe à A_i un élément a_i est une fonction de graphe fini. L'existence d'une fonction de choix pour un ensemble fini se démontre sans utiliser l'axiome du choix. La fonction se définit par récurrence, en utilisant à chaque étape que l'élément de E en jeu est un ensemble non vide. Il est juste besoin de supposer que l'ensemble sur lequel est défini la fonction de choix est fini.

En revanche, on ne peut se passer de l'axiome du choix pour obtenir une fonction de choix sur un ensemble infini même s'il est constitué seulement d'ensembles finis^[13].

Les ensembles héréditairement finis

Les ensembles héréditairement finis sont des ensembles non seulement finis, mais dont les éléments sont eux-mêmes finis, et ainsi de suite. Plus formellement, dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, la classe des ensembles hériditairement finis est la plus petite classe contenant l'ensemble vide et close par passage à l'ensemble des parties. On montre que c'est un ensemble en utilisant l'axiome de l'infini et le schéma de remplacement. On la note V_ω^[14], c'est le niveau ω de la hiérarchie de von Neumann, plus précisément :

• V₀ = Ø
• V_n+1 = P(V_n)
• V_ω = ∪_{n ∈ N} V_n .

L'entier de von Neumann n appartient à V_n+1, les entiers de von Neumann sont donc héréditairement finis. L'ensemble V_ω des héréditairement finis est lui-même dénombrable, au sens de la théorie, c'est-à-dire que l'on montre l'existence d'une bijection entre V_ω et ω.

On montre que, dans un modèle de ZF, V_ω muni de l'appartenance du modèle restreinte à V_ω est un modèle de tous les axiomes de ZF excepté l'axiome de l'infini. Celui-ci n'est donc pas démontrable à partir des autres axiomes de ZF.