Comatrice

En algèbre linéaire, la comatrice d'une matrice carrée $A$ est une matrice carrée de même taille, dont les coefficients, appelés les cofacteurs de $A$ , interviennent dans le développement du déterminant de $A$ suivant une ligne ou une colonne. Si $A$ est une matrice inversible, sa comatrice intervient également dans une expression de son inverse.

Dans cette page, $A$ désigne une matrice carrée d'ordre $n$ à coefficients dans un anneau commutatif $K$ .

Définitions

Le cofacteur d'indice $i, j$ de $A$ est :

\left(\operatorname {com} A\right)_{i,j}:=\det \left(A'_{i,j}\right)=(-1)^{i+j}\det \left(A_{i,j}\right)

, où

$A' i, j$ est la matrice carrée de taille $n$ déduite de $A$ en remplaçant la $j$ -ème colonne par une colonne constituée uniquement de zéros, sauf un $1$ sur la $i$ -ème ligne ;
$A i, j$ est la sous-matrice carrée de taille $n - 1$ déduite de $A$ en supprimant la $i$ -ème ligne et la $j$ -ème colonne (son déterminant fait donc partie des mineurs de $A$ ).

La comatrice de $A$ est la matrice de ses cofacteurs.

Formules de Laplace

Pierre-Simon de Laplace (1749-1827).

On peut calculer le déterminant de $A$ en fonction des coefficients d'une seule colonne et des cofacteurs correspondants. Cette formule, dite formule de Laplace, permet ainsi de ramener le calcul d'un déterminant d'ordre $n$ à celui de $n$ déterminants d'ordre $n - 1$ .

Formules de développement d'un déterminant d'ordre $n$ ^[1] :

par rapport à la colonne $j$ :
$\det A=\sum _{i=1}^{n}a_{i;j}(\operatorname {com} A)_{i,j}$ ;
par rapport à la ligne $i$ :
$\det A=\sum _{j=1}^{n}a_{i;j}(\operatorname {com} A)_{i,j}$ .

Généralisation

La formule suivante^[1] se déduit des formules de Laplace et les inclut :

A\;{}^{\operatorname {t} }\!{\operatorname {com} A}=\left({}^{\operatorname {t} }\!{\operatorname {com} A}\right)\;A=\left(\det A\right)\;\mathrm {I} _{n}

où $I n$ désigne la matrice identité de même taille $n$ que $A$ .

La matrice transposée de la comatrice est appelée matrice complémentaire^[2] de $A$ . Notamment si $det A$ est inversible dans $K$ , alors $A$ est inversible dans $M n (K)$ et son inverse est un multiple de la matrice complémentaire, ce qui veut dire qu'on a obtenu une formule pour l'inverse, ne nécessitant « que » des calculs de déterminants :

A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\,{}^{\operatorname {t} }\!{\operatorname {com} A}

Cette formule n'a guère qu'un intérêt théorique car en pratique, elle est trop lourde pour calculer explicitement $A -1$ dès que $n \geq 4$ et la méthode plus élémentaire à base d'opérations élémentaires sur les lignes (inversion par pivot de Gauss) est plus efficace, aussi bien pour l'humain que pour la machine.

Propriétés de la comatrice

Compatibilité avec la transposition : $com(t A) = t (com A)$ .
Compatibilité avec le produit^[3] : $com I n = I n$ et pour toutes matrices carrées $A$ et $B$ d'ordre $n$ , $com(AB) = (com A)(com B)$ .
Rang (si K est un corps commutatif) :
- si $A$ est de rang $n$ (c.-à-d. $A$ inversible), $com(A)$ aussi (jointe à la précédente, cette propriété assure que l'application « comatrice » se restreint en un automorphisme du groupe linéaire $GL n (K)$ ) ;
- si $A$ est de rang $n - 1$ , avec $n \geq 2$ , $com(A)$ est de rang 1 ;
- si $A$ est de rang inférieur ou égal à $n - 2$ , $com(A) = 0$ .
Déterminant : si $n \geq 2$ , $det(com A) = (det A) n -1$ .
Comatrice de la comatrice^[3] : si $n \geq 2$ , $com(com A) = (det A) n -2 A$ .
Si $P (X) = det(A - X I n)$ est le polynôme caractéristique de $A$ et si $Q$ est le polynôme défini par $Q (X) = (P (0) - P (X))/ X$ , alors^[3] : $t (com A) = Q (A)$ .

Démonstrations

Les égalités $com(t A) = t (com A)$ et $com(I n) = I n$ sont immédiates.
Produit : si $A$ et $B$ sont inversibles, la formule résulte des propriétés multiplicatives de la transposition, de l'inversion (chacune des deux inversant l'ordre) et du déterminant. Or l'équation $com(AB) = (com A)(com B)$ est polynomiale, à coefficients entiers, en les éléments des deux matrices $A$ et B. En considérant ces $2 n 2$ éléments comme les indéterminées d'un anneau de polynômes à coefficients dans ℤ, et en appliquant ce qui précède au corps des fractions (rationnelles à coefficients dans ℚ) associé (dans lequel $A$ et $B$ sont inversibles), on obtient donc une égalité « absolue ». Lorsqu'on remplace ensuite ces indéterminées par les éléments d'un anneau commutatif quelconque, l'égalité est maintenue.
Rang :
- Si $A$ est inversible alors $com(A) = (det A) t A -1$ a pour inverse $(det A) -1 t A$ .
- Si $A$ est de rang $n - 1$ et en supposant, par exemple, que ses $n - 1$ premières colonnes sont linéairement indépendantes et que la dernière en est une combinaison linéaire, avec comme coefficients λ₁, … , λ_n–1, alors, dans $com(A)$ , la dernière colonne est non nulle et la k-ième, pour tout $k < n$ , est le produit de la dernière par $-λ k$ .
- Si $A$ est de rang inférieur à $n - 2$ alors, dans $A$ , $n - 1$ colonnes quelconques sont liées donc tous les cofacteurs sont nuls.
Déterminant : si $n \geq 2$ et $A$ est inversible alors $det(com A) = det[(det A) t A -1] = (det A) n det(t A -1) = (det A) n -1$ . Pour $A$ non inversible, on peut faire le même « raisonnement générique » que pour le produit ou — si l'on se contente du cas où les matrices sont à coefficients dans un corps — remarquer plus simplement que les deux membres sont nuls d'après les propriétés du rang. Pour des matrices à coefficients réels ou complexes, on peut aussi raisonner par densité.
Comatrice de la comatrice : si $n \geq 2$ , $(det A) com(com A) = A t com A com(com A) = det(com A) A = (det A) n -1 A$ donc si $A$ est inversible, $com(com A) = (det A) n -2 A$ . Le cas général se ramène au cas inversible comme ci-dessus.
Polynôme caractéristique : d'après le théorème de Cayley-Hamilton, $P (A) = 0$ donc $A Q (A) = P (0) I n = (det A) I n = A t (com A)$ . Si $A$ est inversible, on en déduit $Q (A) = t (com A)$ . Le cas général se ramène au cas inversible comme ci-dessus.

Quelques propriétés plus anecdotiques

Si $n \geq 3$ , les matrices $A\in M_{n}(\mathbb {R} )$ telles que $A = com A$ sont la matrice nulle et les matrices spéciales orthogonales. Si $n = 2$ , ce sont les matrices multiples des matrices spéciales orthogonales.

Exemples

Matrices de taille (1,1)

La comatrice de toute matrice de taille (1,1) est la matrice identité $I 1 = (1)$ .

Matrices de taille (2,2)

\operatorname {com} {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}}

Matrices de taille (3,3)

\operatorname {com} {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&&a_{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}

On rappelle que ${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc$ (voir déterminant).

Variations de la fonction déterminant

On suppose ici que $K$ est le corps des réels, et l'on s'intéresse à l'application déterminant, vue comme fonction des coefficients de la matrice :

\mathbb {R} ^{n^{2}}\simeq \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ,\;A\mapsto \det A

La formule de Leibniz montre que c'est une fonction polynomiale (homogène) donc indéfiniment différentiable.

On peut retrouver et préciser cette régularité grâce aux formules de Laplace (voir supra) : en un point $A$ quelconque de M_n(ℝ), la fonction $det$ est affine par rapport à la variable d'indice $i, j$ , et sa dérivée partielle est le cofacteur de $A$ de même indice :

${\frac {\partial \det }{\partial A_{i,j}}}(A)=(\operatorname {com} A)_{i,j}.$

On en déduit, toujours au point $A$ , le gradient de $det$ (si l'on munit M_n(ℝ) de son produit scalaire canonique) : $\nabla \det(A)=\operatorname {com} A$

ou encore, sa différentielle donc son développement limité à l'ordre 1 : $\det(A+H)=\det A+{\rm {tr}}\left(\left({}^{t}\!\operatorname {com} A\right)H\right)+o\left(\left\|H\right\|\right)$ .

Notamment pour le cas où $A$ est la matrice identité : $\nabla \det(\mathrm {I} _{n})=\mathrm {I} _{n}{\text{ et }}\det(\mathrm {I} _{n}+H)=1+{\rm {tr}}(H)+o(\|H\|)$ .

Comatrice et produit vectoriel

Si $A$ est une matrice réelle d'ordre 3, elle agit sur les vecteurs de l'espace euclidien orienté ℝ³. La comatrice de $A$ décrit alors l'interaction de $A$ avec le produit vectoriel :

Au\wedge Av=\operatorname {com} A\,(u\wedge v)

Démonstration

Notons $\cdot$ le produit scalaire. Pour tout vecteur $x$ de ℝ³,

(\det A)u\wedge v\cdot x=\det A[u,v,x]=[Au,Av,Ax]=(Au\wedge Av)\cdot Ax={}^{\operatorname {t} }\!A(Au\wedge Av)\cdot x

Par conséquent,

{}^{\operatorname {t} }\!A(Au\wedge Av)=(\det A)u\wedge v={}^{\operatorname {t} }\!A\operatorname {com} A\,(u\wedge v)

On en déduit l'égalité annoncée si $A$ est inversible.

Le résultat s'étend aux matrices non inversibles par densité.

Notes et références

1 2
Ces formules incontournables sont démontrées dans tous les cours d'algèbre linéaire, comme :
- J.-P. Marco et L. Lazzarini, Mathématiques L1 : cours complet avec 1000 tests et exercices corrigés, Pearson, 2012 (lire en ligne), chap. 20 (« Déterminants »), p. 541 et 546 ;
- F. Cottet-Emard, Algèbre linéaire et bilinéaire, De Boeck Supérieur, 2005 (lire en ligne), chap. 2 (« Déterminants »), p. 36 et 42 ;
- le chapitre « Déterminant » sur Wikiversité.
↑ Dans la littérature en langue anglaise, la matrice complémentaire (transposée de la comatrice) est parfois appelée « matrice adjointe », ce qui crée un risque de confusion avec un autre sens de matrice adjointe, désignant la transposée de la matrice conjuguée.
1 2 3 Henri Lombardi et Claude Quitté, Algèbre commutative — Méthodes constructives — Modules projectifs de type fini, Calvage & Mounet, 2016 (1^re éd. 2011) (arXiv 1611.02942, présentation en ligne), p. 96-97.