La fonction cosinus est une fonction mathématique paire d'un angle. Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle est le rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse.
Le cosinus est habituellement cité en deuxième parmi les fonctions trigonométriques.
Les fonctions trigonométriques sont habituellement définies comme le rapport de deux côtés d'un triangle rectangle, et peuvent être définies de manière équivalente comme la longueur de différents segments sur le cercle unité. Les définitions plus modernes les caractérisent par des séries entières ou comme des solutions d'équations différentielles particulières, permettant leur extension à des valeurs arbitraires et aux nombres complexes.
La fonction cosinus est utilisée couramment pour modéliser des phénomènes périodiques comme les ondes sonores ou lumineuses ou encore les variations de température au cours de l'année.
Définitions
Dans un triangle rectangle
Pour définir le cosinus d'un angle Â, noté cos Â, considérons un triangle rectangle arbitraire qui contient l'angle Â.
Les côtés du triangle rectangle sont appelés :
- l’hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit, une jambe de l'angle  et le côté le plus long du triangle ;
- le côté opposé : c'est le côté opposé à l'angle  qui nous intéresse ;
- le côté adjacent : c'est le côté qui est une jambe de l'angle Â, qui n'est pas l'hypoténuse.
On notera :
- h : la longueur de l'hypoténuse ;
- a : la longueur du côté adjacent.
Alors :
- .
Ce rapport ne dépend pas du triangle rectangle particulier choisi, aussi longtemps qu'il contient l'angle, puisque tous ces triangles rectangles sont semblables.
À partir du cercle unité
En trigonométrie, le cercle unité est le cercle de rayon 1 centré à l'origine (0, 0) d'un système de coordonnées cartésiennes.
Considérons l'intersection entre une droite passant par l'origine, faisant un angle avec la moitié positive de l'axe x, et le cercle unité. Alors la composante horizontale de cette intersection est égale à .
À partir des séries entières
La fonction cosinus peut être définie à partir de la série entière, qui converge pour tout réel x :
- .
Autrement dit, le cosinus de x est défini comme la partie réelle de la série exponentielle de ix :
- .
Cette définition, jointe à celle analogue du sinus (comme partie imaginaire), est équivalente à la formule d'Euler.
Comme solution d'une équation différentielle
La série entière précédente est l'unique solution du problème de Cauchy :
- ,
qui constitue donc une définition équivalente de la fonction cosinus.
Propriétés
Périodicité
La fonction cosinus est périodique, de période 2π.
- .
Cette propriété découle naturellement de la définition à partir du cercle unité (voir supra).
Plus précisément, deux nombres réels ont le même cosinus si et seulement si leur somme ou leur différence appartient à .
Une autre approche[1] consiste à partir de la série entière de l’exponentielle, et à montrer que cette fonction est périodique de période pour un certain .
Parité
La fonction cosinus est paire :
- .
Cette propriété apparaît clairement dans le développement en série entière.
Réciproque
La fonction cosinus est périodique donc non injective. Aussi, on considère sa restriction à [0, π] qui, elle, est bien bijective de [0, π] dans l'image [–1, 1], et l'on définit alors la fonction réciproque arc cosinus :
qui vérifie donc
- ;
- .
Dérivée
La dérivée de la fonction cosinus est l'opposée de la fonction sinus :
- .
Primitive
Une primitive de cos est sin, ce qui s'écrit :
- .
Limites
Pour tout réel x, la fonction cosinus est continue au point x, donc sa limite en ce point est cos(x).
Du fait de sa périodicité, elle n'a pas de limite en ±∞.
Valeurs remarquables
Les valeurs figurant dans le tableau ci-dessous correspondent à des angles pour lesquels une expression à l'aide de racines carrées est possible, et plus précisément pour lesquels le théorème de Wantzel s'applique ; pour plus de détails, voir l'article Polynôme minimal des valeurs spéciales trigonométriques.
x (angle) | cos x | |||
---|---|---|---|---|
Degrés | Radians | Grades | Exacte | Décimale |
0° | 0 | 0g | 1 | 1 |
180° | 200g | -1 | -1 | |
15° | 16 2⁄3g | 0,965925826289068 | ||
165° | 183 1/3g | -0,965925826289068 | ||
30° | 33 1⁄3g | 0,866025403784439 | ||
150° | 166 2⁄3g | -0,866025403784439 | ||
45° | 50g | 0,707106781186548 | ||
135° | 150g | -0,707106781186548 | ||
60° | 66 2⁄3g | 0,5 | ||
120° | 133 1⁄3g | -0,5 | ||
75° | 83 1⁄3g | 0,258819045102521 | ||
105° | 116 2⁄3g | -0,258819045102521 | ||
90° | 100g | 0 | 0 | |
36° | 40g | 0,8090169944 | ||
54° | 60g | 0,5877852523 | ||
126° | 140g | -0,5877852523 |
La racine de l'équation cos(x) = x est ipso facto un nombre remarquable, appelé le nombre de Dottie.
Relation avec les nombres complexes
Le cosinus est utilisé pour déterminer la partie réelle d'un nombre complexe z donné en coordonnées polaires, par son module r et son argument φ :
- .
Cosinus avec un argument complexe
La fonction cosinus peut s'étendre sur le domaine complexe, où elle est une fonction entière :
- .
On a alors .
En particulier, pour , on a , ce qui montre que sur l'axe imaginaire la fonction cosinus croît exponentiellement[2].
Calcul numérique
Notes et références
Lien externe
(en) Eric W. Weisstein, « Cosine », sur MathWorld