Dimension d'un espace

La physique utilise beaucoup la notion mathématique d'espace vectoriel. On peut simplifier sa définition en disant que la dimension d'un espace est le nombre de variables qui servent à définir un état, un évènement. Ainsi, on dit classiquement que notre univers est à quatre dimensions, puisqu'un évènement se définit par la position dans l'espace (x, y, z) et l'instant t auquel cet évènement survient (il faut cependant préciser que, tant qu'aucune théorie physique ne relie le temps à l'espace, on pourrait tout aussi bien considérer la température comme une cinquième dimension ; l'article espace-temps explique comment la théorie de la relativité donne un sens non arbitraire à cette construction).

• Un objet volumique constant (c'est-à-dire dont les propriétés sont indépendantes du temps, du moins durant l'étude) est dit à trois dimensions, car il faut trois nombres (x, y, z) pour désigner un de ses points ;
• un objet plan (comme une feuille de papier) dont on néglige l'épaisseur est dit à deux dimensions, car il faut deux nombres (x, y) pour désigner un de ses points ;
• un objet linéaire (comme un fil) dont on néglige l'épaisseur est dit à une dimension, car il suffit d'un seul nombre x pour désigner un de ses points (abscisse curviligne) ;
• un objet ponctuel (comme un point) dont on néglige la taille est dit de dimension zéro, car une fois que l'on a désigné le point, on n'a besoin d'aucun paramètre supplémentaire pour le trouver.

Ces concepts sont repris en modélisation informatique (objet 2D, 3D).

Plus généralement, si un système physique peut être dans un ensemble d'états caractérisés par des mesures, le nombre de dimensions de cet ensemble d'états (appelé parfois espace des phases) est le nombre de variables indépendantes nécessaire pour caractériser un de ces états ; cela correspond mathématiquement à la notion de dimension d'une variété.

Dimension d'une grandeur

La dimension est aussi une propriété commune aux grandeurs qui peuvent s’exprimer avec les mêmes unités. Par exemple, la longueur, la hauteur, la distance, le diamètre ou la circonférence possèdent la même dimension, tandis que l'heure, la minute et la semaine en relève d'une autre.

Une grandeur sans dimension ou adimensionnée est un rapport de grandeurs de même dimension, comme les angles, définis comme le rapport de la longueur d'un arc de cercle donné sur le rayon de ce cercle.

L’analyse dimensionnelle est l’étude des différentes dimensions physiques et de leurs relations.

Autres acceptions

• La dimension de Kolmogorov est l’échelle spatiale à partir de laquelle la viscosité permet de dissiper l’énergie cinétique d’un écoulement.
• La dimension critique est une contrainte sur la dimensionnalité de l’espace-cible en théorie des cordes.
• La réduction dimensionnelle est une procédure qui s’applique à une théorie formulée sur un modèle d’espace-temps pour obtenir une théorie formulée sur un sous-espace de dimension inférieure.

Algèbre

• La dimension d'un espace vectoriel est le cardinal commun à toutes les bases de cet espace, qu’il soit fini ou infini. Le cas de la dimension finie est l’objet du théorème de la dimension.
• La dimension d'un espace affine est la dimension de l’espace vectoriel des translations associé.
• La dimension de Krull d’une variété algébrique est le supremum des chaines d’inclusion de sous-variétés irréductibles.
• La dimension projective (resp. injective, plate) d'un module est la borne inférieure des longueurs de ses résolutions projectives (resp. injectives, plates).
• La dimension homologique (globale, à droite ou à gauche) d’un anneau est la borne supérieure des dimensions projectives ou injectives de ses modules (à droite ou à gauche).
• La dimension globale faible d’un anneau est la borne supérieure des dimensions plates de ses modules (à droite ou à gauche).

Géométrie

• L’espace à quatre dimensions est une extension des trois dimensions de la géométrie dans l’espace.
• La dimension d'un convexe est la dimension de l’espace affine engendré.
• La dimension de Hausdorff est un exposant critique associé au nombre de boules nécessaires pour recouvrir un fermé dans un espace géométrique.
• La dimension de Minkowski-Bouligand (box-counting) a une définition semblable à celle de Hausdorff mais avec des boules (ou des pavés) de même taille.
• La dimension de packing est duale de la dimension de Hausdorff en considérant le maximum de boules disjointes centrées sur la figure considérée.
• La dimension fractale peut correspondre à plusieurs notions :
  • la dimension d’homothétie pour une figure présentant une autosimilarité ;
  • la dimension de corrélation et la dimension d'information parmi d’autres dimensions de Renyi, adaptées à l’étude d’attracteurs notamment ;
  • la dimension divider qui s’applique aux courbes sans auto-intersection ;
  • la dimension d'Assouad est la borne supérieure des dimensions de Hausdorff au voisinage de chaque point.

Topologie

• La dimension d'une variété topologique est la dimension de l’espace image des cartes locales qui constituent son atlas.
• Topologie en basses dimensions
• Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie
• La dimension topologique d’un espace topologique peut être définie par :
  • la petite dimension inductive ou dimension de Urysohn-Menger et la grande dimension inductive ou dimension de Čech, toutes deux définies de façon récursive à partir de fermés séparants,
  • la dimension de recouvrement de Lebesgue, obtenue à partir du nombre d’ouverts d’intersection non vide d’un recouvrement de l’espace considéré.
• La dimension combinatoire est la longueur maximale d’une chaine d’inclusions strictes de fermés irréductibles non vides, essentiellement utilisée en géométrie algébrique pour la topologie de Zariski.

Combinatoire

Le graphe de Möbius-Kantor dessiné dans un plan (dimension 2) avec des arêtes de longueur 1.

• La dimension d'un graphe est celle du plus petit espace affine euclidien dans lequel le graphe peut être plongé avec des segments de longueur 1 comme arêtes.
• La dimension bipartie d’un graphe est le nombre minimum de sous-graphes bipartis complets nécessaires pour couvrir toutes les arêtes.
• L’appariement à 3 dimensions est une généralisation du couplage à une situation ternaire.

Algorithmique

• La dimension de Vapnik-Chervonenkis est une mesure de la capacité d’un algorithme de classification statistique.

Littérature

• La 2,333e Dimension est une bande dessinée de Marc-Antoine Mathieu.
• Albator SSX Dimension Voyage ou Captain Harlock: Dimensional Voyage est un manga de Kouiti Shimaboshi.
• La Cinquième Dimension est un roman de François Sautereau.
• La Dimension cachée est un essai de l’anthropologue américain Edward T. Hall.
• La Dimension des ombres est le deuxième tome de la trilogie de fantasy La Guerre des ténèbres de Raymond Elias Feist.
• Dimension W est un manga de Yūji Iwahara.
• Histoires de la quatrième dimension est le vingt-et-unième tome de La Grande Anthologie de la science-fiction.
• La Quatrième Dimension est un film américain de 1983.
• La Quatrième Dimension et demie est le sixième tome de la série de bande dessinée Seuls.
• La Quatrième Dimension ou les Quarante Impératifs de la révolution est un roman de Bruno Massé et Lydia Roy-Simard de 2008.
• Saint Seiya: Next Dimension est un manga de Masami Kurumada.
• Voyage au pays de la quatrième dimension est une anthologie de récits de l’écrivain français Gaston de Pawlowski.

Musique

Cinéma

• Les Aventures de Buckaroo Banzaï à travers la 8e dimension est un film américain de 1984.
• Les Aventuriers de la 4e dimension est un film américain de Johnatan R. Betuel de 1985.
• Dimensions... une promenade mathématique est un film éducatif réalisé par l'académicien Étienne Ghys.
• Meurtres en 3 dimensions est un film américain de Steve Miner de 1982.
• Paranormal Activity 5 : Ghost Dimension est un film d’horreur américain de Gregory Plotkin de 2015.
• La Quatrième Dimension est un film américain de 1983.
• Rencontre dans la troisième dimension est un film américano-belge de Ben Stassen de 1999.
• La Septième Dimension est un film français de Laurent Dussaux de 1988.

Le cinéma 4D intègre à la projection des effets spéciaux supplémentaires tels que des mouvements des sièges.

• Dimension Films est une société de production

Radio et télévision

• Une dimension trop réelle est un épisode de la série Stargate SG-1.
• Dimensions in Time est un épisode de la série Doctor Who.
• Dimension X est une émission de science fiction diffusée sur la radio NBC.
• La Cinquième Dimension et La Treizième Dimension puis The Twilight Zone : La Quatrième Dimension sont des séries télévisées américaines d’histoires fantastiques, faisant suite à la série de science fiction la Quatrième Dimension.
• Marshall et Simon : Une nouvelle dimension est une série télévisée canadienne.
• Phinéas et Ferb, le film : Voyage dans la 2e dimension est un téléfilm d’animation américain.
• La Quatrième Dimension : L'Ultime Voyage est un téléfilm américain de Robert Markowitz.
• The Super Dimension Fortress Macross est une série animée japonaise de Noboru Ishiguro, suivie de Super Dimension Century Orguss et The Super Dimension Fortress Macross II: Lovers, Again.
• Time And Relative Dimension In Space est le nom complet de la machine à voyager dans le temps TARDIS dans la série de science-fiction Doctor Who.

Jeux vidéo

• Dead or Alive: Dimensions est un jeu vidéo de combat.
• Dragon Ball Z: Hyper Dimension est un jeu vidéo de combat.
• Final Fantasy Dimensions et Final Fantasy Dimensions II forment une suite de jeux vidéo de rôle.
• Kidō Senshi Gundam: Cross Dimension 0079 est un jeu vidéo tactique.
• Lego Dimensions est un jeu vidéo d’action et d’aventure.
• SD Gundam: Dimension War est un jeu vidéo de stratégie.
• Spider-Man : Dimensions est un jeu vidéo d’action sur plateformes.
• There Is No Game: Wrong Dimension est un jeu vidéo d’aventure comique.
• Wario Land: The Shake Dimension est un jeu de vidéo de plateforme.
• X-Men: Next Dimension est un jeu vidéo de combat.