Électron soumis à un champ électrique, et sous champ magnétique nul

Soit un champ électrique ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$ uniforme. D’après le principe fondamental de la dynamique (dans un référentiel galiléen), on a :

${\displaystyle m_{e}{\frac {d{\overrightarrow {v_{e}}}}{dt}}={\overrightarrow {F_{lorentz}}}=-e{\overrightarrow {E}}}$

D'où :

${\displaystyle {\overrightarrow {v_{e}}}={\frac {-et}{m_{e}}}{\overrightarrow {E}}+{\overrightarrow {v_{0}}}}$

avec ${\displaystyle {\overrightarrow {v_{0}}}}$ vitesse initiale de l'électron.

Sous l’action unique du champ électrique constant, l’électron est uniformément accéléré dans la direction du champ électrique.

Électron soumis à un champ magnétique, et sous champ électrique nul

Soit un champ magnétique dirigé selon ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle {\overrightarrow {B}}={\begin{vmatrix}0\\0\\B\end{vmatrix}}}$

Le champ magnétique ne fournit pas d'énergie à l'électron car la force magnétique est perpendiculaire au mouvement, son travail est donc nul ${\displaystyle (W={\overrightarrow {B}}.{\overrightarrow {v}}=0)}$.

D'après le théorème de l'énergie cinétique, sa vitesse reste donc constante :

${\displaystyle d{E_{c}}=-e.({\overrightarrow {v}}\wedge {\overrightarrow {B}}).{\overrightarrow {v}}dt=0}$

L'accélération de l'électron est perpendiculaire à la trajectoire car la force est perpendiculaire à la vitesse (donc à la trajectoire).

De plus, si l'électron possède une vitesse constante, les composantes de l'accélération dans le repère de Frenet sont rapides à déterminer.

Il est possible de démontrer que le mouvement forme un cercle de rayon ${\displaystyle R=v{\frac {m}{eB}}}$, autour de l’axe du champ magnétique (${\displaystyle z}$ dans notre exemple).

Dans cette description classique, l’électron peut avoir une orbite de taille quelconque car il peut avoir n’importe quelle vitesse.

La période de rotation pour effectuer un tour complet est donnée par :

${\displaystyle T={\frac {2\pi R}{v}}=2\pi {\frac {m_{e}}{eB}}={\frac {2\pi }{w_{c}}}}$

avec ${\displaystyle w_{c}={\frac {eB}{m_{e}}}}$ la pulsation cyclotron de l’électron.

En conclusion, sous l’influence d’un champ électrique, un électron est accéléré dans la direction du champ et, sous l’influence d’un champ magnétique, il est mis en rotation uniforme autour de l’axe du champ magnétique.

L'effet Hall

Schéma présentant l'évolution des porteurs dans un métal lorsqu'il est soumis à la fois à un champ électrique et à un champ magnétique

L’effet Hall trouve son origine dans la nature du courant qui traverse un matériau conducteur. Ce courant est le résultat du mouvement d’un grand nombre de porteurs de charges (combinaison d'électrons, trous et ions).

En présence d’un champ électrique, dirigé selon la direction ${\displaystyle x}$, les porteurs de charges acquièrent une vitesse de dérive moyenne stationnaire qui est limitée par les collisions avec les impuretés du matériau et/ou les phonons. Dans ces conditions, les porteurs de charges ont une trajectoire en moyenne rectiligne. C’est ce principe qui génère un courant électrique.

Lorsqu’on ajoute un champ magnétique de composante perpendiculaire au déplacement des électrons, dans cet exemple, selon l’axe ${\displaystyle z}$, les porteurs de charges sont, en plus d’être accélérés, mis en rotation autour de l’axe du champ magnétique.

Dans certaines conditions, les porteurs de charges n’ont pas le temps de décrire un cercle complet autour de l’axe du champ magnétique. De ce fait, dès l’application du champ magnétique, les porteurs de charges ne pouvant pas sortir du solide vont s’accumuler sur une des faces du matériau.

Cette accumulation de charges se traduit par l’apparition d’un champ électrique, selon la direction ${\displaystyle y}$, nommé champ de Hall.

Ce champ électrique engendre sur les porteurs de charges une nouvelle force qui tend à diminuer la force de Lorentz (responsable de la mise en rotation des porteurs de charges).

Au bout d’un temps assez court, le champ de Hall est suffisamment grand pour compenser la déviation des électrons. Le régime stationnaire est atteint, les porteurs de charges ne sont plus déviés par le champ magnétique. Une tension fixe est apparue sur les faces du solide, nommée tension de Hall.

Par sa définition et son origine, l’effet Hall dépend du courant (${\displaystyle I}$) induit dans le matériau par le champ électrique, du champ magnétique (${\displaystyle {\vec {B}}}$) appliqué au matériau, mais également de la géométrie du matériau. En effet, plus ce dernier est « étroit » plus les porteurs de charges auront du mal à faire une rotation complète autour de l’axe du champ magnétique.

La tension de Hall dans un échantillon conducteur de forme parallélépipédique est égale à :

${\displaystyle U_{H}=R_{H}{\frac {IB}{a}}}$

où ${\displaystyle a}$ est l'épaisseur de matériau dans la direction du champ magnétique (ici ${\displaystyle z}$)

L'effet Hall dans un métal

Dans un métal, les porteurs sont majoritairement des électrons. De ce fait, la constante de Hall a pour valeur

${\displaystyle R_{H}=-{\frac {1}{ne}}}$, où n représente le nombre d’électrons par unité de volume qui est égale à 10²³ e/cm³

Il est judicieux de remarquer que la tension de Hall est proportionnelle au coefficient de Hall ${\displaystyle R_{H}}$, lui-même inversement proportionnel à ${\displaystyle n}$ dans le matériau.

Plus un matériau possède de porteurs de charge et plus la tension de Hall qui peut potentiellement apparaitre est faible. C'est pourquoi on utilise des semi-conducteurs dans les applications de l'effet Hall.

L'effet Hall dans un semi-conducteur

Étant donné que l’effet Hall dépend du nombre de porteurs de charges, on peut noter que cet effet est plus important dans un semi-conducteur que dans un métal. En effet, les semi-conducteurs possèdent en plus des porteurs de charges négatifs (électrons), des porteurs de charges positifs (trous).

On peut donc exprimer de la même manière que dans un métal, la tension de Hall dans un semi-conducteur, et de ce fait en déduire certaines caractéristiques intrinsèques au matériau semi-conducteur.

Les équations ci-dessous récapitulent quelques paramètres importants quantifiables grâce à l’effet Hall (mesure de la tension de Hall).

Électrons

${\displaystyle {\overrightarrow {v}}=-\mu _{n}{\overrightarrow {E}}}$ avec ${\displaystyle \mu _{n}}$ la mobilité des électrons dans le matériau

${\displaystyle R_{H}=-{\frac {1}{ne}}}$

${\displaystyle \sigma =ne\mu _{n}=-{\frac {\mu _{n}}{R_{H}}}}$ avec ${\displaystyle \sigma }$ la conductivité du matériau

Trous

${\displaystyle {\overrightarrow {v}}=+\mu _{p}{\overrightarrow {E}}}$ avec ${\displaystyle \mu _{p}}$ la mobilité des trous dans le matériau

${\displaystyle R_{H}=+{\frac {1}{pe}}}$

${\displaystyle \sigma =pe\mu _{p}=+{\frac {\mu _{p}}{R_{H}}}}$ avec ${\displaystyle \sigma }$ la conductivité du matériau

Bibliographie

• (en) T. Ando, Y. Arakawa, K. Furuya, S. Komiyama, H. Nakashima , Mesoscopic physics and electronics, Springer, 1998 (ISBN 978-3-642-71978-3).
• Edward M. Purcell, Claude Guthmann, Pierre Lallemand, Berkeley : cours de physique 2 – Électricité et magnétisme, Paris, Dunod, 1998 (ISBN 978-2-10-004060-5).

Articles connexes

• Effet Hall quantique entier
• Effet Hall quantique fractionnaire
• Gant de données à effet Hall
• Force de Laplace

Liens externes

• Simulation paramétrable de l'effet Hall.
• Séminaire Bourbaphy.
• L'effet Hall, sciences.univ-nantes.fr.