En géométrie

Dans un plan euclidien, soit un triangle ABC. Alors les longueurs AB, AC et BC vérifient les trois inégalités suivantes :

• ${\displaystyle AB\leqslant AC+CB}$ ;
• ${\displaystyle AC\leqslant AB+BC}$ ;
• ${\displaystyle BC\leqslant BA+AC}$.

La conjonction de ces trois inégalités équivaut à la double inégalité : ${\displaystyle |AC-CB|\leqslant AB\leqslant AC+CB}$.

La première de ces dernières inégalités traduit que dans un triangle, la longueur d'un côté est supérieure à la différence des longueurs des deux autres^[1].

Le cas d'égalité dans la deuxième inégalité s'écrit : ${\displaystyle AB=AC+CB\Leftrightarrow C\in [AB]}$.

Pour les nombres complexes

En utilisant une représentation complexe du plan euclidien, on peut noter

• ${\displaystyle x={\text{affixe de }}{\overrightarrow {AC}}}$
• ${\displaystyle y={\text{affixe de }}{\overrightarrow {CB}}}$

On obtient cette formulation équivalente.

Pour ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {C} ^{2}}$, on a :

• ${\displaystyle |x+y|\leqslant |x|+|y|}$ ;
• ${\displaystyle |x+y|=|x|+|y|\Longleftrightarrow \exists (\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} _{+}^{2}\setminus \{(0,0)\},\ \lambda y=\mu x}$.

Généralisation aux espaces préhilbertiens

Soit ${\displaystyle (E,\langle \cdot |\cdot \rangle )}$ un espace préhilbertien réel. On note ${\displaystyle \|\cdot \|}$ la norme associée au produit scalaire. Pour ${\displaystyle (x,y)\in E^{2}}$, en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité, on démontre alors^[2] l'inégalité de Minkowski :

• ${\displaystyle \|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|}$ ;
• ${\displaystyle \|x+y\|=\|x\|+\|y\|\Longleftrightarrow \exists (\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} _{+}^{2}\setminus \{(0,0)\},\ \lambda y=\mu x}$ (${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ positivement liés).

(Tout espace préhilbertien complexe ${\displaystyle (E,\langle \cdot |\cdot \rangle ')}$ est un espace préhilbertien réel, pour le produit scalaire ${\displaystyle \langle x|y\rangle$ :=\mathrm {Re} (\langle x|y\rangle ')} , qui induit la même norme que le produit hermitien ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle '}$.)

Point de vue axiomatique

Soient E un ensemble et ${\displaystyle d:E\times E\to \mathbb {R} ^{+}}$. On dit que d est une distance sur E si :

• ${\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2},\ d(x,y)=d(y,x)}$
• ${\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2},\ d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y}$
• ${\displaystyle \forall (x,y,z)\in E^{3},\ d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)}$

La troisième propriété demandée à ${\displaystyle d}$ pour être une distance est de vérifier l'inégalité triangulaire. Jointe à la première, elle entraîne :

• ${\displaystyle \forall (x,y,z)\in E^{3},\ |d(x,z)-d(y,z)|\leqslant d(x,y)}$

et plus généralement, pour toute partie non vide A de E, ${\displaystyle |d(x,A)-d(y,A)|\leqslant d(x,y)}$ (voir « Distance d'un point à une partie »).

Réciproquement, ${\displaystyle |d(x,z)-d(y,z)|\leqslant d(x,y)\Longrightarrow d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)}$.

Tout espace vectoriel normé ${\displaystyle (E,\|~\|)}$ — en particulier ${\displaystyle (\mathbb {C} ,|~|)}$ — est naturellement muni d'une distance ${\displaystyle d}$, définie par ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$, pour laquelle la majoration ${\displaystyle |d(x,0)-d(y,0)|\leqslant d(x,y)}$ se réécrit :

• ${\displaystyle {\Big |}\|x\|-\|y\|{\Big |}\leqslant \|x-y\|}$.