Développements et simplifications

Un cas intéressant à traiter est celui d’une modulation monochromatique, c’est-à-dire d’un signal modulant sinusoïdal.

${\displaystyle x_{m}(t)=A_{m}\cos(2\pi f_{m}t)}$

Dans un tel cas, on peut développer l’intégrale du signal modulant dans l’expression du signal transmis ${\displaystyle y(t)}$ précédemment exprimé dans le cas général :

${\displaystyle \int _{0}^{t}x_{m}(\tau )d\tau ={\frac {A_{m}\sin(2\pi f_{m}t)}{2\pi f_{m}}}}$

Alors :

${\displaystyle y(t)=A_{p}\cos(2\pi f_{\mathrm {p} }t+{\frac {A_{m}}{f_{m}}}{f_{\Delta }}\sin(2\pi f_{\mathrm {m} }t))}$

On peut alors introduire l’indice de modulation ${\displaystyle \beta ={\frac {A_{m}}{f_{m}}}{f_{\Delta }}}$, ce qui permet d’écrire plus simplement :

${\displaystyle y(t)=A_{p}\cos(2\pi f_{\mathrm {p} }t+\beta \sin(2\pi f_{\mathrm {m} }t))}$

On peut finalement développer l’expression de ${\displaystyle y(t)}$ à l’aide de la fonction de Bessel ${\displaystyle J_{n}(\beta )}$, ce qui permet de modéliser formellement l'occupation spectrale d'une modulation FM :

Modélisation à l’aide des fonctions de Bessel

Pour simplifier les calculs, il est plus simple de raisonner avec des complexes, soit, en notant ${\displaystyle j}$ l’unité imaginaire :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {y}}(t)&=A_{p}e^{2j\pi f_{\mathrm {p} }t}e^{j\beta \sin(2\pi f_{\mathrm {m} }t)}\\&={\tilde {x}}(t)\cdot e^{2j\pi f_{\mathrm {p} }t}\end{aligned}}}$

Où l’on a noté ${\displaystyle {\tilde {x}}=A_{p}e^{j\beta \sin(2\pi f_{\mathrm {m} }t)}}$, l’enveloppe complexe du signal modulé (la porteuse). Elle est périodique de fréquence ${\displaystyle f_{m}}$ et peut donc être développée en série de Fourier :

${\displaystyle {\underline {\tilde {x}}}(t)=A_{p}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\underline {C_{n}}}e^{2\pi jnf_{m}t}}$

Avec les coefficients :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {C_{n}}}&=f_{m}\int _{-1/2f_{m}}^{1/2f_{m}}e^{j\beta \sin(2\pi f_{m}t)}e^{-2jn\pi f_{m}t}dt\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-j(nx-\beta \sin x)}dx\end{aligned}}}$

Cette dernière intégrale n’est autre qu’une fonction de Bessel du premier type, d’ordre ${\displaystyle n}$ et d’argument ${\displaystyle \beta }$. Notre série de Fourier s’exprime donc simplement :

${\displaystyle {\underline {\tilde {x}}}(t)=A_{p}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }J_{n}(\beta )e^{2j\pi nf_{m}t}}$

Il ne reste plus qu’à remplacer ce résultat dans ${\displaystyle {\underline {y}}(t)}$, puis à prendre la partie réelle, pour obtenir le résultat final :

${\displaystyle y(t)=A_{p}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }J_{n}(\beta )\cos(2\pi (f_{\mathrm {p} }+nf_{\mathrm {m} })t).}$

Spectre pour divers indices de modulation

Avec les notations suivantes :

${\displaystyle A\,\!}$ : amplitude du signal	${\displaystyle J_{n}(\beta )\,\!}$ : fonction de Bessel de première espèce
${\displaystyle f_{\mathrm {p} }\,\!}$ : fréquence porteuse	${\displaystyle \beta ={\frac {A_{m}}{f_{m}}}{f_{\Delta }}\,\!}$ : indice de modulation
${\displaystyle f_{\mathrm {m} }\,\!}$ : fréquence de modulation	${\displaystyle n\,\!}$ : rang harmonique de ${\displaystyle f_{\mathrm {m} }}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

En faisant varier ${\displaystyle \beta }$, on fait varier l'intensité de la modulation, donc l'écart entre la fréquence la plus grande et la plus petite, qui alternent à la fréquence ${\displaystyle f_{\mathrm {m} }}$.

Les coefficients ${\displaystyle J_{n}(\beta )}$ peuvent être calculés à l'aide de la série suivante:

${\displaystyle J_{n}(\beta )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\frac {\left({\frac {\beta }{2}}\right)^{n+2k}}{(n+k)!}}}$