Tracés des trois premières fonctions de Bessel de première espèce J.

En mathématiques, et plus précisément en analyse, les fonctions de Bessel, appelées aussi quelquefois fonctions cylindriques^[1], découvertes par le mathématicien suisse Daniel Bernoulli, portent le nom du mathématicien allemand Friedrich Wilhelm Bessel. Bessel développa l'analyse de ces fonctions en 1816 dans le cadre de ses études du mouvement des planètes induit par l'interaction gravitationnelle, généralisant les découvertes antérieures de Bernoulli. Ces fonctions sont des solutions canoniques y(x) de l'équation différentielle de Bessel :

${\displaystyle x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0}$

pour tout nombre réel ou complexe α. Le plus souvent, α est un entier naturel (alors appelé l'ordre de la fonction), ou un demi-entier.

Il existe deux sortes de fonctions de Bessel :

• les fonctions de Bessel de première espèce, J_n, solutions de l'équation différentielle ci-dessus qui sont définies en 0 ;
• les fonctions de Bessel de seconde espèce, Y_n, solutions qui ne sont pas définies en 0 (mais qui ont une limite infinie en 0).

Les représentations graphiques des fonctions de Bessel ressemblent à celles des fonctions sinus ou cosinus, mais s'amortissent comme s'il s'agissait de fonctions sinus ou cosinus divisées par un terme de la forme √x.

Les fonctions de Bessel sont aussi connues sous le nom de fonctions cylindriques, ou d'harmoniques cylindriques, parce qu'elles font partie des solutions de l'équation de Laplace en coordonnées cylindriques (intervenant, par exemple, dans la propagation de la chaleur dans un cylindre).

Elles interviennent dans beaucoup de problèmes physiques présentant une symétrie cylindrique:

• les ondes électromagnétiques ou les ondes acoustiques dans un guide cylindrique (antenne ou tuyau) ;
• les modes de vibration d'une fine membrane circulaire ou annulaire ;
• l'étude d'instruments d'optique comme les fibres optiques constituées d'un cœur et d'une gaine optique concentriques;
• le pendule de Bessel ;
• les phénomènes de diffraction par une fente circulaire ;
• l'étude de la modulation de fréquence en télécommunications.

Expression des fonctions de Bessel

Pour les valeurs entières de α = n, les fonctions de Bessel de première espèce J_n sont définies par la série entière (de rayon de convergence infini) suivante^[2] :

${\displaystyle J_{n}(x)=\sum _{p=0}^{\infty }{(-1)^{p} \over p!(n+p)!}{\left({x \over 2}\right)}^{2p+n}}$.

Plus généralement, pour α non entier, on a le développement analogue

${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}}{p!\,\Gamma (p+\alpha +1)}}{\left({x \over 2}\right)}^{2p+\alpha }}$

où Γ(z) est la fonction gamma, généralisant la fonction factorielle à des valeurs non entières.

Les fonctions de Bessel de deuxième espèce, également appelées fonctions de Neumann ou encore fonctions de Weber-Schläfli, sont définies par :

${\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\lambda \to n}{J_{\lambda }(x)\cos(\lambda \pi )-J_{-\lambda }(x) \over \sin(\lambda \pi )}}$.

Propriétés des J_n

• Relations de récurrence^[8] :

  ${\displaystyle J_{\alpha -1}(z)+J_{\alpha +1}(z)={2\alpha \over z}J_{\alpha }(z)}$,

  ${\displaystyle J_{\alpha -1}(z)-J_{\alpha +1}(z)=2J'_{\alpha }(z)}$,

  ${\displaystyle J'_{\alpha }(z)=J_{\alpha -1}(z)-{\alpha \over z}J_{\alpha }(z)=-J_{\alpha +1}(z)+{\alpha \over z}J_{\alpha }(z)}$.

• On en déduit :

  ${\displaystyle J_{1}(x)=-J_{0}'(x)}$,

  ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{n}J_{n}(x))=x^{n}J_{n-1}(x)}$.

• Orthogonalité :

  ${\displaystyle \lambda _{i}}$ et ${\displaystyle \lambda _{j}}$ étant deux zéros distincts de ${\displaystyle J_{n}}$, on a : ${\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{n}(\lambda _{i}x)J_{n}(\lambda _{j}x)\,\mathrm {d} x=0}$.

J_n est souvent défini par l'intermédiaire d'une série de Laurent, correspondant à la fonction génératrice :

${\displaystyle {\rm {e}}^{(x/2)(t-1/t)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n}}$ ;

cette approche est celle de Peter Andreas Hansen en 1843. Elle peut se généraliser à des ordres n non entiers, par l'intermédiaire, par exemple, d'intégrales de contour.

Des développements analogues; mais utilisant des séries trigonométriques, sont dus à Jacobi et Anger ; on a^[9]

${\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {i}}z\cos \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\rm {i}}^{n}J_{n}(z){\rm {e}}^{{\rm {i}}n\phi },}$

et

${\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {i}}z\sin \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z){\rm {e}}^{{\rm {i}}n\phi }.}$

Développements asymptotiques

Les fonctions de Bessel ont les formes asymptotiques suivantes (pour α > 0). Près de 0 (et plus précisément pour ${\displaystyle 0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$), on a^[6] :

${\displaystyle J_{\alpha }(x)\approx {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}$

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)\approx {\begin{cases}\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\left[\ln \left({\frac {x}{2}}\right)+\gamma \right]&{\text{si }}\alpha =0\\\displaystyle -{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&{\text{si }}\alpha >0\end{cases}}}$

où γ est la constante d'Euler-Mascheroni (0,577…) et Γ est la fonction gamma. Pour x tendant vers l'infini (et plus précisément pour ${\displaystyle x\gg |\alpha ^{2}-1/4|}$), ces développements deviennent^[6] :

${\displaystyle J_{\alpha }(x)\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$.

La forme asymptotique ci-dessus pour J_α est aussi un équivalent pour x (complexe non nul) fixé, quand α tend vers +∞. Autrement dit^[10] :

${\displaystyle J_{\alpha }(x){\underset {\overset {\alpha \to +\infty }{}}{\sim }}{\frac {1}{\sqrt {2\pi \alpha }}}\left({\frac {\mathrm {e} \,x}{2\alpha }}\right)^{\alpha }}$.

Zéros

Comme J_α est une solution non nulle d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2, ses zéros (à l'exception éventuelle de 0) sont simples^[11], donc (cf. Relations de récurrence ci-dessus) différents de ceux de J_α+1.

Notes et références

Voir aussi