Produits en croix

C’est sous cette forme qu’elle est souvent maintenant présentée en France^[1]. Dans un tableau de proportionnalité à quatre cases, le produit des termes situés dans une diagonale est égal au produit des termes situés dans l'autre diagonale. Ce résultat est connu depuis au moins Euclide sous le nom d'égalité du produit des extrêmes et du produit des moyens (dans une lecture de gauche à droite et de haut en bas).

Pour résoudre les problèmes précédents, il suffit alors de construire un tableau de proportionnalité incomplet :

ou

Les produits en croix permettent d'écrire les équations suivantes et de trouver leurs solutions

• dans le premier tableau : ${\displaystyle 1{,}5\times 10=2\times x\,}$ donc ${\displaystyle x={\dfrac {1{,}5\times 10}{2}}}$
• dans le second tableau : ${\displaystyle 12{,}2\times 15=2\times y\,}$ donc ${\displaystyle y={\dfrac {12{,}2\times 15}{2}}}$

Le résultat final s’obtient donc en effectuant le produit des deux termes d’une diagonale et en divisant par le terme restant.

Réduction à l'unité

Cette méthode met en place un discours plus explicatif permettant d'élucider la règle de trois pour la remplacer par une « règle de six ». Elle consiste à utiliser une étape en passant par l'unité.

Pour le problème 1 :

• pour acheter 2 kg de fruits il faut 10 euros ;
• pour acheter 1 kg de fruits, il faut deux fois moins d'euros soit ${\displaystyle {\dfrac {10}{2}}}$ euros ;
• pour acheter 1,5 kg de fruits, il faut 1,5 fois plus d'euros soit ${\displaystyle {\dfrac {10\times 1{,}5}{2}}}$ euros.

Pour le problème 2 :

• 2 cm sur la carte représentent 15 km sur le terrain ;
• 1 cm sur la carte représente deux fois moins de km sur le terrain c'est-à-dire ${\displaystyle {\dfrac {15}{2}}}$ km ;
• 12,2 cm sur la carte représentent 12,2 fois plus de km, soit ${\displaystyle {\dfrac {15\times 12{,}2}{2}}}$ km.

Pour le problème 3 :

• 10 objets coûtent 22 euros ;
• 1 objet coûte dix fois moins, c'est-à-dire 2,20 euros ;
• 15 objets coûtent 15 fois plus, soit ${\displaystyle 2{,}20\times 15=33}$ euros.

Elle fut enseignée sous cette forme dans les écoles françaises à différentes époques.

Coefficient de proportionnalité

La méthode du coefficient de proportionnalité utilise une propriété voisine des tableaux de proportionnalité : dans un tableau de proportionnalité, on passe d'une ligne à l'autre (ou d'une colonne à l'autre) en multipliant par un coefficient constant appelé le coefficient de proportionnalité qui doit rester sous une forme exacte, éventuellement fractionnaire.

Ainsi le problème 1 fournit le tableau

Le coefficient de proportionnalité pour passer de la première colonne à la seconde colonne est de 5 ou ${\displaystyle {\frac {10}{2}}}$ car ${\displaystyle 10=5\times 2}$. C'est ce même coefficient de proportionnalité qui permet de passer de 1,5 au nombre cherché. Le nombre cherché est donc ${\displaystyle 5\times 1{,}5}$.

De même le coefficient de proportionnalité pour passer de la première ligne à le seconde ligne est de ${\displaystyle {\dfrac {1{,}5}{2}}}$ car ${\displaystyle 1,5={\dfrac {1{,}5}{2}}\times 2}$. C'est ce même coefficient de proportionnalité qui permet de passer de 10 au nombre cherché. Le nombre cherché est donc ${\displaystyle {\dfrac {1{,}5\times 10}{2}}}$.

Rôle de la proportionnalité

L'utilisation d'une règle de trois suppose que soit établie l'existence d'une proportionnalité entre les quantités en présence. Les Instituts universitaire de formation des maîtres (IUFM)^[2] soulèvent cet écueil : la règle de trois ne peut pas précéder la notion de proportionnalité.

Remplir un tableau à quatre cases ne garantit pas l'existence d'une proportionnalité et peut conduire à des contresens comme celui-ci

Il est toujours possible de construire un tableau

Mais il est nécessaire de vérifier la proportionnalité avant de tenter d'appliquer la règle de trois. Ici la vérification consiste seulement à se demander « si on double le nombre d'ouvriers le temps de travail va-t-il doubler ? ». Normalement, la réaction de bon sens consiste à répondre non, et la règle de trois ne s'applique pas de manière directe (voir règle de trois inverse). Cette non-proportionnalité se manifeste de manière plus évidente dans l'évident contre-exemple « si une femme met neuf mois à faire un bébé, neuf femmes mettront un mois à faire un bébé ».

François Drouin^[3] souligne la rareté des phénomènes de proportionnalité et évoque le fait que, même en économie domestique, il n'y a pas toujours proportionnalité entre la quantité achetée et le prix payé. La précision, « à vitesse constante », « à prix unitaire constant », « à débit constant », est souvent un non-dit de l'énoncé. Déjà au XVIII^e siècle, Diderot et d'Alembert dans leur encyclopédie, pointaient du doigt cette contrainte, signalant qu'il ne leur semblait pas raisonnable d'imaginer qu'une citerne puisse se vider à débit constant et qu'il est donc peu réaliste de considérer que le temps nécessaire à vider une citerne soit proportionnel au volume d'eau qu'elle contient^[4].

Le tableau de proportionnalité, construit avec plus de quatre cases, permet en outre de développer d'autres techniques pour déterminer une quatrième proportionnelle. Ainsi pour le problème 1, on peut observer qu'en prenant 4 fois moins de fruits, on doit payer quatre fois moins d'euros. On construit donc le tableau intermédiaire :

Les propriétés sur les tableaux de proportionnalité permettent de dire que l'on peut créer une nouvelle ligne en sommant ou retranchant deux lignes. On peut ainsi créer la ligne solution du problème par soustraction des deux lignes précédentes :

Cas des nombres entiers

La règle de trois s'applique pour des quantités portionnables, nombres décimaux, fractionnaires ou réels. Il est difficile de l'utiliser lorsqu'une des quantités ne peut pas se diviser : nombre de pots de peinture nécessaire pour peindre les murs d'une pièce, nombre d'objets que l'on peut acheter avec une quantité d'argent donnée. Le résultat à fournir étant un nombre entier d'objets ou de pots, il s'agit d'arrondir le nombre, obtenu par l'application de la règle de trois, par excès ou par défaut selon la logique du problème.

Il peut aussi arriver que les deux quantités soient des entiers. Alors la règle de proportionnalité n'est pas vérifiée. Ainsi le problème

qui se présente comme les problèmes précédents doit être résolu, non par une règle de trois, mais par l'utilisation de divisions euclidiennes.

• Si avec 560 perles, on peut faire 11 colliers, combien de perles contient chaque collier ?

  560 = 11 × 50 + 10

  Chaque collier contient 50 perles (et il reste 10 perles non utilisées).

• Avec 9000 perles, combien peut-on faire de colliers de 50 perles ?

  9000 = 50 × 180

  Avec 9000 perles on peut donc faire 180 colliers

L’application de la règle de trois aurait conduit à

${\displaystyle {\dfrac {9000\times 11}{560}}\approx 176{,}78}$

qui, même arrondi à 177, n'aurait pas donné le bon nombre de colliers.

Règle de trois inverse

Il y a des grandeurs qui diminuent à proportion d’un accroissement des données. Par exemple, si on demande en combien de temps 10 ouvriers construiront un certain mur que 15 ouvriers ont pu élever en 12 jours, on considérera qu’il faut, pour construire un tel mur, un travail égal à 15 × 12 = 180 hommes × jours ; travail qui est, dans une large mesure, indépendant du nombre d’hommes ou du temps disponible, mais ne dépend que de la taille du mur^{[Note 1]}. Ainsi, le temps recherché t doit être tel que : 10 × t = 180 donc t = 18 jours. En résumé, la règle de trois s’écrit dans ce cas : ${\displaystyle t={\dfrac {15\times 12}{10}}=18}$

La réponse est donc 18 jours pour 10 ouvriers.

Règle de trois composée

On rencontre parfois des problèmes de proportion faisant intervenir deux « règles de trois » enchaînées, ou même plus. En voici un exemple :

18 ouvriers travaillant à raison de 8 heures par jour ont pavé en 10 jours une rue longue de 150 m. On demande combien il faut d’ouvriers travaillant 6 heures par jour pour paver en 15 jours une rue longue de 75 m, rue de même largeur que la précédente.

Lagrange propose la règle suivante^[6] : « Si une quantité augmente en même temps, dans la proportion qu’une ou plusieurs autres quantités augmentent, et que d’autres quantités diminuent, c’est la même chose que si on disait que la quantité proposée augmente comme le produit des quantités qui augmentent en même temps, divisé par le produit de celles qui diminuent en même temps. »

Dans l’exemple qu’on vient de donner, pour une même largeur de route,

• il faut plus d’ouvriers si la longueur de rue à paver augmente ;
• il faut moins d’ouvriers si la durée journalière de travail augmente ou si le nombre de jours accordé pour faire le travail augmente.

Donc le nombre N d’ouvriers cherché est donné par : ${\displaystyle N=18\times {\dfrac {75}{150}}\div \left({\dfrac {6}{8}}\times {\dfrac {15}{10}}\right)={\dfrac {18\times 75\times 8\times 10}{150\times 6\times 15}}=8}$.

Produit des extrêmes et des moyens

La recherche d'une quatrième proportionnelle est un problème très ancien puisqu'on en trouve trace déjà dans les Éléments d'Euclide. Celui-ci étudie, dans son livre V, la notion de grandeurs proportionnelles et celle de raison entre grandeurs : 4 grandeurs a, b, c, d sont proportionnelles si a est à b ce que c est à d. C'est-à-dire si la raison entre a et b est égale à la raison entre c et d – de nos jours on écrirait : ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$ . Il établit, dans son livre VII, la règle sur les proportions entre nombres entiers : quatre nombres sont proportionnels si et seulement si le produit du premier par le quatrième est égal au produit du second par le troisième^[7]. Cette règle qui s'appelle aujourd'hui égalité des produits en croix se traduisait aussi souvent par l'expression : le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. C'est sur cette règle que se construisent alors les recherches de quatrième proportionnelle. On peut cependant remarquer qu'Euclide travaille sur des quantités de même nature (livre V) ou bien sur des entiers (livre VII). Ce n'est que plus tard que cette propriété est généralisée aux nombres rompus (ou fractionnaires), aujourd'hui appelés nombres rationnels.

Le terme de « règle de trois » est attesté, en France, dès 1520 mais est probablement présent dès le XIII^e siècle^[8]. Dans son ouvrage L'arithmétique nouvellement composée^[9], Estienne de La Roche consacre tout un chapitre à cette règle qu'il décrit comme « la plus belle de toutes » et précise son surnom de règle dorée^[10]. C'est une recette qu'il donne concernant trois nombres telle que la proportion entre le premier et le deuxième soit identique à celle entre le troisième et le quatrième. Ici, les unités prennent de l'importance : il précise que le premier et le troisième nombre doivent être de même nature, ainsi que le second avec le quatrième. Il rappelle que dans un tel cas, le produit du premier nombre par le quatrième doit être égal au produit du second par le troisième. Il établit alors la règle :

« Multiplie le troisième par le second et divise le par le premier, ainsi tu obtiendras le quatrième. »

Règle de raison du sieur Barrême

Dès 1710, la recette est popularisée par les nombreuses éditions du livre de François Barrême L’Arithmétique du sieur Barrême, ou le livre facile pour apprendre l'arithmétique de soi-même et sans maître. Barrême est l'auteur d'ouvrages de calculs pratiques et de tables de correspondance qui sont passés à la postérité sous le nom de barèmes^[8].

Dans son traité, la justification par le produit des extrêmes et des moyens a disparu. La preuve de la justesse du calcul consiste à utiliser la même règle de trois pour retrouver un des nombres initiaux. Seul reste l'énoncé de la recette. L'existence d'une proportionnalité est un non-dit. Barrême en revanche insiste beaucoup sur la nature des nombres manipulés et comme de La Roche, précise que le premier et le troisième nombre doivent être de même nature, comme le deuxième avec le quatrième. Il surnomme cette règle, la « règle de raison », indiquant par là qu'elle lui semble représenter une victoire de la raison dans le domaine des mathématiques^[11].

Règle de trois dans l'Encyclopédie de Diderot et d’Alembert

On retrouve cette même qualité de recette dans l'article de l'Encyclopédie, même si Diderot et d’Alembert se préoccupent, plus que Barrême, de l'existence d'une réelle proportionnalité. C'est aussi dans cet ouvrage qu'on la qualifie de « règle d'or »^[4].

Réduction à l'unité

Dans la première moitié du XIX^e siècle, les esprits changent, la théorie des proportions nécessaire à la compréhension de la règle passe au second plan. En 1810, Antoine André Louis Reynaud^[12], propose une nouvelle méthode consistant à revenir à l'unité ce qui lui permet de traiter de la même manière les cas proportionnels ou inversement proportionnels^[13].

En préambule il annonce proposer « une méthode absolument nouvelle pour résoudre les problèmes ». Son but est pédagogique : il a remarqué que la multitude de règles concernant la règle de trois et ses variantes obscurcissait la maîtrise du phénomène. Il a conscience que la règle appliquée sans réflexion conduit à des résultats aberrants en cas de quantités inversement proportionnelles. Son ambition est donc de remplacer la recette par un raisonnement « On oublie facilement les règles que l'on ne comprend pas, mais les méthodes confiées au jugement, ne s'effacent jamais de la mémoire » écrit-il dans son préambule^[14]. La méthode plait, son emploi, sous le nom de réduction à l'unité, est encouragé par les inspecteurs primaires et fleurit dans les ouvrages scolaires^[8]. Durant plus d'un siècle elle sera utilisée dans tous les problèmes de l'enseignement primaire en particulier dans l'épreuve reine du certificat d'étude.

La règle de trois n'aura pas lieu

Les années 1960-1970 voient l'avènement des mathématiques modernes. L'idée sous-jacente à cette réforme est, qu'au delà des règles de calcul, il existe des savoirs et des savoir-faire plus abstraits permettant de structurer davantage la pensée^[15]. La recette de la règle de trois va donc être abandonnée au profit d'un concept plus général : la linéarité. Plutôt qu'une règle, on propose un instrument, la proportionnalité, à savoir manipuler dans des exercices de types très variés demandant autonomie et prise d'initiative chez l'élève. En 1963, Gilbert Walusinski, membre de l'Association des professeurs de mathématiques de l'enseignement public (APMEP) très impliquée dans la réforme^[16], écrit un article « La règle de trois n'aura pas lieu »^{[Note 2]} dans le Bulletin de l'APMEP n^o 231 de mai-juin, critiquant l'automatisme de la règle de trois et proposant des problèmes en situation permettant de mobiliser l'esprit critique des élèves^[17]. Ce titre est repris dans un film distribué par les Institut de recherche sur l'enseignement des mathématiques (IREM) dans les années 1970 se proposant de convaincre les futurs enseignants de l'inanité de la règle de trois^[18].

L'abandon de l'enseignement des mathématiques modernes au début des années 1980 ne sonne pourtant pas son retour. L'outil à la mode reste le tableau de proportionnalité qui, avec le produit en croix ou le coefficient de proportionnalité, propose des méthodes permettant de calculer une quatrième proportionnelle.

Il faut noter que dans de nombreux cas, une astuce permet de simplifier la résolution ; ainsi, dans le problème 3 exposé plus haut, en remarquant que 10 et 15 sont multiples de 5, donc :

• 10 objets coûtent 22 euros ;
• 5 objets coûtent 11 euros ;
• 15 objets (3 x 5) coûtent 33 (3 x 11) euros.

Retour dans les programmes de 2008

Cependant, cette autonomie laissée à l'élève pour trouver la quatrième proportionnelle induit un effet pervers : l'élève manquant d'autonomie se retrouve sans outil efficace pour résoudre un simple problème de proportionnalité. Certains milieux professionnels, comme les formateurs en école d'infirmières, s'en inquiètent dès 1996^[19].

En 2008, une réflexion sur les savoirs fondamentaux conduit aux observations suivantes : les performances scolaires en mathématiques des élèves français baissent, l'évaluation Pisa montre que si les meilleurs élèves restent toujours très performants, le nombre d'élèves faibles en mathématiques devient trop important^[15]. Un remède est proposé : la maîtrise des outils de base ne pourrait s'acquérir que par de nombreux exercices répétitifs et par la mise en place de procédures appliquées jusqu'à leur automatisation, permettant alors à l'esprit enfin libéré de manipuler des raisonnements plus complexes^[15]. La règle de trois réapparaît alors dans les programmes de l'enseignement primaire mais son mode d'introduction est laissé au libre choix de l'enseignant.

Notes

Références

Bibliographie

• Jean-Luc Bregeon, Une petite histoire de la règle de trois.
• François Drouin, « Le retour de la règle de trois », Bulletin de l'APMEP, n^o 484, septembre-octobre 2009, p. 577-583.
• Rudolf Bkouche, La règle de trois et les didacticiens.
• Magali Hersant, La proportionnalité dans l'enseignement obligatoire français au XXe siècle et au début du XXIe siècle, colloque Copirelem, mai 2004.

Articles connexes

• Proportionnalité