إزاحة افتراضية

بالنسبة لمسار الجسيم${\displaystyle x(t)}$ والسحب الافتراضي ${\displaystyle x'(t)}$، عند المركز ${\displaystyle x_{1}}$, الوقت${\displaystyle t_{1}}$، تكون الإزاحة الافتراضية ${\displaystyle \delta x}$ 。 ويكون مركزا البداية والنهاية لكلا المسارين عند ${\displaystyle x_{0}}$ و${\displaystyle x_{2}}$ على التوالي.

إن الإزاحة الافتراضية ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}\,}$ "هي تغير مفترض متناهي الصغر في إحداثيات النظام يحدث أثناء ثبوت الزمن. وسميت افتراضية وليست حقيقة لأنه يستحيل أن تحدث إزاحة فعلية دون مرور زمن."^[1]

في علم المصطلحات الحديث، تكون الإزاحة الافتراضية هي متجه المماس لمتعدد الشعب الذي يمثل القيود عند زمن محدد. وبخلاف الإزاحة العادية التي تنشأ عن التفاضل فيما يتعلق بمعامل الزمن ${\displaystyle t\,}$ عبر مسار الحركة (وبهذا يتم التوجيه في اتجاه الحركة), تنشأ الإزاحة الافتراضية عن التفاضل المتعلق بالمعامل ${\displaystyle \epsilon \,}$ لترقيم مسارات الحركة المتغيرة بطريقة تتسق مع القيود (وبهذا يتم التوجيه نحو زمن ثابت في اتجاه المماس إلى متعدد الشعب المقيد). ويستخدم الرمز ${\displaystyle \delta \,}$ بصورة تقليدية للدلالة على الاشتقاق المقابل ${\displaystyle \textstyle {\partial \over {\partial \epsilon }}{\big |}_{\epsilon =0}\,}$.

إن التفاضل الكامل لأي مجموعة من ممسات مركز النظام, ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\,}$، التي هي دوال لمتغيرات أخرى, ${\displaystyle \lbrace q_{1},q_{2},...,q_{m}\rbrace \,}$, ويمكن التعبير عن الزمن ${\displaystyle t\,}$ بالطريقة التالية:^[1]

${\displaystyle d\mathbf {r} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial t}}dt+\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}dq_{j}\,}$

وبدلاً من ذلك، إذا كنا نريد الإزاحة الافتراضية (الإزاحة التفاضلية الافتراضية), فإن^[1]

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}\,}$

تستخدم تلك المعادلة في ميكانيك لاغرانج لتربط الإحداثيات المعممة, ${\displaystyle q_{j}\,}$, بـ الشغل الافتراضي, ${\displaystyle \delta W\,}$, والقوى المعممة, ${\displaystyle Q_{j}\,}$.

في الميكانيكا التحليلي] يكون مفهوم الإزاحة الافتراضية، المرتبط بمفهوم الشغل الافتراضي , مفيدًا فقط عند مناقشة عنصر نظام فيزيائي بالنسبة للقيود على حركته. وهناك حالة خاصة للإزاحة الموحلة في الصغر (يرمز إليها دائمًا بـ ${\displaystyle d\mathbf {r} \,}$), تشير الإزاحة الافتراضية (رمزها ${\displaystyle \delta \mathbf {r} \,}$) إلى تغير موحل في الصغر في إحداثيات مركز النظام بحيث تظل القيود مستوفاة.

فعلى سبيل المثال، إذا كانت حبة مقيدة بالحركة في طوق، فيمكن تمثيل موضعها بإحداثي الموضع ${\displaystyle \theta \,}$, الذي يعطي الزاوية التي توجد عندها الحبة. ولنقل إن الحبة توجد بأعلى. فعند تحريك الحبة إلى أعلى مباشرةً من ارتفاعها ${\displaystyle z\,}$ إلى ارتفاع ${\displaystyle z+dz\,}$ قد يمثل إزاحة موحلة في الصغر ممكنة، ولكنه قد يخترق القيد. إن الإزاحة الافتراضية الوحيدة الممكنة هي الإزاحة من مركز الحبة, ${\displaystyle \theta \,}$ إلى مركز جديد ${\displaystyle \theta +\delta \theta \,}$ (حيث قد تكون ${\displaystyle \delta \theta \,}$ موجبة أو سالبة).

يجب أيضًا أن نلاحظ أن الإزاحة الافتراضية هي إزاحات مكانية على وجه التحديد - الزمن يكون ثابتًا أثناء حدوث الإزاحة الافتراضية. فعند حساب التفاضلات الافتراضية لكميات هي دوال لإحداثيات المكان والزمن, فلن يتم اعتبار الاعتماد على الزمن (مساويًا رسميًا لـ ${\displaystyle \delta t=0\,}$).

انظر أيضاً

• آلة الفائدة الحراكية.
• شغل الافتراضي.

المراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة الفيزياء