السرعة المساحية

السرعة المساحية لجسم يتحرك وفق المسار الأزرق هي مقدار المساحة (باللون الرمادي)، مقسومة على المدة الزمنية.

السرعة المساحية في الميكانيكا الكلاسيكية هي مقدار يعبر عن سرعة المساحة المنجرفة بواسطة متجه موضع جسم خلال حركة منحنية بالنسبة لمركز معين، كما يبين الشكل جانبه، يتحرك الجسم وفق المنحنى الأزق، في لحظة ${\displaystyle t}$ يكون الجسم في موضع ${\displaystyle B}$ وبعد مدة وجيزة، عند اللحظة ${\displaystyle t+\Delta {t}}$ يصبح الجسم في الموضع ${\displaystyle C}$، المساحة المنكسحة أو المساحة المنجرفة هي المساحة بالرمادي (في الشكل)، المحصورة بين القطعتين ${\displaystyle AB}$ و ${\displaystyle AC}$ ومنحنى الحركة، والسرعة المساحية هي مقدار هذه المساحة مقسوم على المدة الزمنية ${\displaystyle \Delta {t}}$ عندما تؤ، ل هذه المدة إلى الصفر.^[1] ارتبط تصور السرعة المساحية بمفهوم الزخم الزاوي. ينص قانون كبلر الثاني على أن السرعة المساحية لكوكب باعتبار الشمس كمركز، تبقى ثابتة. وكان إسحاق نيوتن أول من أدرك قانون كبلر الثاني ديناميكيا وحسب قوانينه للحركة، فوجد سنة 1684 أن أي جسم يخضع لجاذبية ممركزة في مركز ثابت، يكسح سرعة مساحية ثابتة بالنسبة لزمن، ومع منتصف القرن الثامن عشر وجد مبدأ الزخم الزاوي من قبل دانييل برنولي و ليونهارت أويلر وباتريك داركي، حيث أن صياغة داركي لهذا المبدأ اعتمدت تصور المساحة المنجرفة، لهذا كان يشار إليه في أغلب الكتب القديمة باسم "مبدأ المساحات"

البعد والوحدة

بعد السرعة المساحية هو:

${\displaystyle [{\dot {A}}]=\mathrm {L^{2}} \cdot {\mathrm {T} ^{-1}}.}$

تعليل

${\displaystyle [{\dot {A}}]={\frac {[A]}{[t]}}={\frac {\mathrm {L^{2}} }{\mathrm {T^{1}} }}=\mathrm {L^{2}} \cdot {\mathrm {T} ^{-1}}.}$ الوحدة المشتقة للنظام العالمي للوحدات هي المتر المربع في الثانية.

تعابير رياضية

يعبر عن السرعة المساحية المتوسطة بـ :

${\displaystyle {\dot {A}}={\frac {\Delta {A}}{\Delta {t}}}.}$

تحدد السرعة المساحية اللحظية بحساب النهاية:

${\displaystyle {\dot {A}}=\lim _{\Delta {t}\rightarrow {0}}{\frac {\Delta {A}}{\Delta {t}}}={\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}{r^{2}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}{r^{2}}{\dot {\theta }}.}$

برهان هندسي

نعتبر المسار في الشكل جانبه، عند اللحظة ${\displaystyle t_{0}=0}$ يكون الجسم عند الموضع ${\displaystyle M^{0}}$. وفي لحظة ${\displaystyle t}$ يصبح الجسم في الموضع ${\displaystyle M}$. نسمي ${\displaystyle A}$ المساحة المنكسحة من اللحظة ${\displaystyle t_{0}}$ إلى اللحظة ${\displaystyle t}$.

خلال الزمن ${\displaystyle \mathrm {d} t}$ تكسح متجهة الموضع مساحة ${\displaystyle OMM'=\mathrm {d} A}$.

إحداثيات النقطة ${\displaystyle M}$ الكارتيزية هي ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$. وفي النظام القطبي، هي: ${\displaystyle \rho }$ (الشعاع) و ${\displaystyle \theta }$ (الزاوية).

إحداثيات النقطة ${\displaystyle M'}$ هي بالمثل ${\displaystyle x+\mathrm {d} x}$ و ${\displaystyle y+\mathrm {d} y}$ أو بالإحداثيات القطبية: ${\displaystyle \rho +\mathrm {d} \rho }$ و ${\displaystyle \theta +\mathrm {d} \theta }$.

في الإحداثيات القطبية

لتحديد المساحة ${\displaystyle OMM'}$، تُقرب إلى مساحة المثلث ${\displaystyle OMM'}$. ${\displaystyle OMM'=\mathrm {d} A={\frac {1}{2}}\cdot OM\cdot OM'\cdot sin({\widehat {MOM'}})}$.
و منه: ${\displaystyle \mathrm {d} A={\frac {1}{2}}\rho (\rho +\mathrm {d} \rho )sin(\mathrm {d} \theta )}$ نهمل الفرق الطفيف ${\displaystyle \mathrm {d} \rho }$ أمام قيمة ${\displaystyle \rho }$,
وكذلك تقرب ${\displaystyle sin(\mathrm {d} \theta )}$ إلى ${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$ حيث أن الزاوية تؤول إلى الصفر. نجد إذن مساحة المثلث المتناهي في الصغر ${\displaystyle OMM'}$:

${\displaystyle dA={\frac {1}{2}}\rho ^{2}\mathrm {d} \theta }$.

وبالتالي السرعة المساحية في الإحداثيات القطبية:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}\rho ^{2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}}$.

في الإحداثيات الكارتيزية

تعطى مساحة المثلث المتناهي في الصغر ${\displaystyle OMM'}$ بحساب المحدد:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} A&={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x&x+\mathrm {d} x&0\\y&y+\mathrm {d} y&0\\0&0&1\end{vmatrix}}={\frac {1}{2}}(x\mathrm {d} y-y\mathrm {d} x)\end{aligned}}}$

ومنه نستخرج السرعة المساحية بالنسبة للإحداثيات الكارتيزية :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}\left(x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}-y{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)}$

مقالات ذات صلة

• قوانين كبلر

مراجع

وصلات خارجية

• Définition de la vitesse aréolaire [1]

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة الفيزياء
• موسوعة علم الفلك