اللولب اللوغاريتمي

لولب لوغريثمي (pitch 10°)

اللولب اللوغريثمي (Logarithmic spiral)‏ هو منحنى حلزوني ذو تشابه ذاتي والذي يظهر غالبًا في الطبيعة. تم وصف اللولب اللوغاريتمي لأول مرة بواسطة رينيه ديكارت ثم قام ياكوب بيرنولي بالتحقيق فيه على نطاق واسع.

في النظام الإحداثي القطبي ${\displaystyle (r,\theta )}$ يمكن رسم منحنى اللوغاريتم وفق الآتي:^[1]

${\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}$

أو

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}$

مع كون ${\displaystyle e}$ قاعدة اللوغاريتمات الطبيعية وكونها ثوابت حقيقية في الشكل البارامتري، يكون المنحنى:

${\displaystyle x(t)=r(t)\cos(t)=ae^{bt}\cos(t)\,}$

${\displaystyle y(t)=r(t)\sin(t)=ae^{bt}\sin(t)\,}$

مع العددين الحقيقين ${\displaystyle a}$ و${\displaystyle b}$. يحتوي اللولب على خاصية أن الزاوية بين المماس والقطر عند النقطة ثابت. يمكن التعبير عن هذه الخاصية في علاقات هندسية تفاضلية

${\displaystyle \arccos {\frac {\langle \mathbf {r} (\theta ),\mathbf {r} '(\theta )\rangle }{\|\mathbf {r} (\theta )\|\|\mathbf {r} '(\theta )\|}}=\arctan {\frac {1}{b}}=\phi .}$

مشتق ال${\displaystyle \mathbf {r} (\theta )}$ يتناسب مع المعلمة ${\displaystyle b}$ بمعنى آخر ${\displaystyle b=0}$ (${\displaystyle \textstyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$) يصبح اللولب دائرة من نصف القطر ${\displaystyle a}$ وفي الحد الذي يقترب من اللانهاية يميل اللولب نحو نصف مستقيم، زاوية ال${\displaystyle \phi }$ تسمى pitch

معرض صور

المراجع

وصلات خارجية

• Spira mirabilis history and math
• Nemiroff, R.; Bonnell, J., المحررون (25 September 2003). "Hurricane Isabel vs. the Whirlpool Galaxy". صورة اليوم الفلكية. ناسا.
• Nemiroff, R.; Bonnell, J., المحررون (17 May 2008). "Typhoon Rammasun vs. the Pinwheel Galaxy". صورة اليوم الفلكية. ناسا.
• SpiralZoom.com, an educational website about the science of pattern formation, spirals in nature, and spirals in the mythic imagination.
• Online exploration using JSXGraph (JavaScript)

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة هندسة رياضية