تكامل جاكوبي

في الميكانيكا السماوية,   تكامل جاكوبي  (المعروف أيضا باسم ثابت جاكوبي سمي نسبة لكارل غوستاف يعقوب جاكوبي) وهو الوحيد المعروف لحفظ الكمية في مشكلة  الاجسام الدورانية  الثلاثة.

. خلافا في الجسم مشكلة الطاقة و الزخم من النظام لا يتم حفظها بشكل منفصل العامة التحليلية الحل غير ممكن. لا يتجزأ تم استخدامها لاستخلاص العديد من الحلول في حالات خاصة.

واحدة من مناسبة تنسيق النظم المستخدمة هو ما يسمى synodic أو المشارك الدورية النظام، وضعت في barycentreمع خط يربط بين اثنين من الجماهير μ₁, m₂ اختياره x-محور وحدة طول تساوي المسافة بينهما. مثل نظام co-تدور مع اثنين من الجماهير، فإنها تظل ثابتة و وضعه في (−m₂, 0) (+m₁, 0)¹. .^[1] Unlike in the two-body problem, the energy and momentum of the system are not conserved separately and a general analytical solution is not possible. The integral has been used to derive numerous solutions in special cases.

تعريف

Synodic النظام

واحدة من مناسبة تنسيق النظم المستخدمة هو ما يسمى synodic أو المشارك الدورية النظام، وضعت في barycentreمع خط يربط بين اثنين من الجماهير μ₁, m₂ اختياره x-محور وحدة طول تساوي المسافة بينهما. مثل نظام co-تدور مع اثنين من الجماهير، فإنها تظل ثابتة و وضعه في (−m₂, 0) (+m₁, 0)¹.

في (x, y)-تنسيق النظام جاكوبي المستمر يعبر عنه على النحو التالي:

In the (x, y)-coordinate system, the Jacobi constant is expressed as follows:

حيث:

• هو يعني الحركة (الفترة المدارية T)
• الذي الجماهير m₁, m₂ و ثابت الجاذبية G
• هي المسافات من اختبار الجسيمات من الجماهير

علما بأن  تكامل جاكوبي  هو ناقص ضعف مجموع الطاقة لكل وحدة كتلة في الدورية الإطار المرجعي: الفترة الأولى تتعلق الطرد المركزي الطاقة الكامنة ، والثانية تمثل الجاذبية المحتملة والثالث هو الطاقة الحركية. في هذا النظام المرجعي، القوى التي تعمل على الجسيمات هما الجاذبية مناطق الجذب قوة الطرد المركزي و قوة كوريوليس. منذ الثلاثة الأولى يمكن أن تكون مشتقة من إمكانات وآخر واحد هو عمودي على مسار، أنهم جميعا قوى محافظه، وبالتالي فإن قياس الطاقة في هذا النظام المرجعي (وبالتالي،  تكامل جاكوبي ) هو ثابت من الحركة. للحصول على برهان مباشر، انظر أدناه.

Note that the Jacobi integral is minus twice the total energy per unit mass in the rotating frame of reference: the first term relates to centrifugal potential energy, the second represents gravitational potential and the third is the kinetic energy. In this system of reference, the forces that act on the particle are the two gravitational attractions, the centrifugal force and the Coriolis force. Since the first three can be derived from potentials and the last one is perpendicular to the trajectory, they are all conservative, so the energy measured in this system of reference (and hence, the Jacobi integral) is a constant of motion. For a direct computational proof, see below.

النظام فلكي

في القصور الذاتي، احداثيات  النظام فلكي  (ξ, η, ζ), الكتل هي التي تدور حول barycentre. في هذه احداثيات     ثابت جاكوبي يعبر عنه كالتالي:

في نظام الدوران،  التسارع يمكن التعبير عنه بآستخدام المشتقات: باستخدام  تمثيل لاغرانج، معادلات الحركة:

ضرب المعادلات. () و () و () من قبل و على التوالي وجمعهم ينتج:

بالتكامل نحصل على:

حيث C_J هو ثابت التكامل.

الجانب الأيسر يمثل مربع السرعة v اختبار الجسيمات في نظام الدورن

¹هذا تنسق نظام غير بالقصور الذاتي، وهو ما يفسر ظهور المصطلحات المتعلقة الطرد المركزي و مقياس التسارع.

• الدورية الإطار المرجعي
• Tisserand هو المعيار
• كارل دي موراي ستانلي F. ديرموت النظام الشمسي ديناميات [كامبريدج، إنجلترا: Cambridge University Press, 1999], صفحات 68-71. ((ردمك ))

الاشتقاق

في الميكانيكا السماوية,  تكامل جاكوبي  (المعروف أيضا باسم جاكوبي لا يتجزأ أو جاكوبي ثابت; سميت كارل غوستاف يعقوب جاكوبي) هو الوحيد المعروف الحفظ كمية من أجل التعميم المقيدة ثلاثة الهيءه المشكلة.^[2] خلافا في الجسم مشكلة الطاقة و الزخم من النظام لا يتم حفظها بشكل منفصل العامة التحليلية الحل غير ممكن. لا يتجزأ تم استخدامها لاستخلاص العديد من الحلول في حالات خاصة.

${\displaystyle {\ddot {x}}-2n{\dot {y}}={\frac {\delta U}{\delta x}}}$

(1)

${\displaystyle {\ddot {y}}+2n{\dot {x}}={\frac {\delta U}{\delta y}}}$

(2)

${\displaystyle {\ddot {z}}={\frac {\delta U}{\delta z}}}$

(3)

Using Lagrangian representation of the equations of motion:

${\displaystyle {\ddot {x}}-2n{\dot {y}}={\frac {\delta U}{\delta x}}}$

(1)

${\displaystyle {\ddot {y}}+2n{\dot {x}}={\frac {\delta U}{\delta y}}}$

(2)

${\displaystyle {\ddot {z}}={\frac {\delta U}{\delta z}}}$

(3)

ضرب يكس. () و () و () من قبل و على التوالي وإضافة الثلاثة ينتج

مقالات ذات صلة

• Rotating reference frame
• Tisserand's Criterion

ملاحظات

المراجع

• Carl D. Murray and Stanley F. Dermot Solar System Dynamics [Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999], pages 68–71. ((ردمك ))

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة علم الفلك