حد ديديكايند

حد ديديكايند أو تقسيم ديديكايند لمجموعة مرتبة كليا S هو زوج (A,B) من أجزاء S حيث : {A,B} تكون تجزئة ل S وكل عنصر من A أصغر (قطعا) من كل عنصر من B.^[1]

يوحي هذا التعريف بوجود "حد" يفصل بين A و B مما يفسر الاصطلاح. واستعمل هذا المفهوم أولا من طرف ريتشارد ديدكايند كطريقة لإنشاء الأعداد الحقيقية غير الجذرية. سمي هكذا نسبة لعالم الرياضيات الألماني ريتشارد ديدكايند.

التعريف

لتكن S مجموعة مرتبة كليا، و A و B جزئين من S.${\displaystyle A\subset S}$ و${\displaystyle B\subset S}$

نقول أن المزدوجة (A,B) حد لديديكايند إذا كان:

1. ${\displaystyle A\neq \emptyset ,B\neq \emptyset }$
2. ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$
3. ${\displaystyle A\cup B=S}$
4. ${\displaystyle \forall x\in A,\forall y\in B,x<y}$
5. ${\displaystyle A}$ لا تحتوي على أكبر عنصر.

الخاصيات 1 إلى 3 تفيد بأن {A,B} تجزئة ل S. مما يعني أن تحديد أحد الجزئين A أو B يكفي لتحديد الحد. إلا أننا نحتفظ بالجزئين معا ونرمز للحد بالزوج (A,B).

كما يمكن أن نعوض الخاصية 4 ب:

*A مغلق دنويا: ${\displaystyle \forall a\in A,\forall x\in E,(x\leq a\Rightarrow x\in A)}$ *و B مغلق علويا: ${\displaystyle \forall b\in B,\forall y\in E,(y\geq b\Rightarrow y\in B)}$.

للحصول على تعريف مكافئ.

مقارنة حدين لديديكايند

لتكن S مجموعة مرتبة كليا. (A,B) و(X,Y) حدين لديديكايند. نعرف علاقة ترتيب> على ${\displaystyle D}$ مجموعة حدود ديديكايند ل S بما يلي :

${\displaystyle (A,B)<(X,Y)\Leftrightarrow A\subset X}$.

نبين أن ${\displaystyle (D,<)}$ تكون مجموعة مرتبة كليا باستعمال هذا الترتيب. كما أن خاصية الكابر الأصغر محققة على ${\displaystyle (D,<)}$ (أي أن كل جزء مكبور يقبل كابرا دنويا).

يشكل ${\displaystyle D}$ امتدادا ل S بمعنى ان كل عنصر x من S يقابله عنصر من ${\displaystyle D}$ عبر التطبيق التبايني و"التشاكلي" (أي الذي يحافظ على علاقة الترتيب>) :

${\displaystyle x:->(\{a\in S|a<x\},\{b\in S|x\leq b\})}$

ملاحظة
الخاصية 5 في التعريف تبين أن ${\displaystyle (\{a\in S|a\leq x\},\{b\in S|x<b\})}$ ليست حدا لديديكايند.

بذلك نرى أن حدود ديديكايند تمكن من تمديد مجموعة مرتبة كليا إلى مجموعة مرتبة كليا تحقق خاصية الكابر الأصغر.

أمثلة لاستعمال حدود ديديكايند

مراجع

مقالات ذات صلة

• متتالية كوشي

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات