في العلم الاكتواري قوة الوفيات هي محاولة الوصول إلى معدل فوري للوفيات لسن معين مقاسه على أساس سنوي . وهي مماثلة لمعدل الإخفاق , وتسمي في نظرية الموثوقية بدالة الخطر(Hazard function) .
الدافع والتعريف
في العلم الاكتواري , نعتبر احتمال وفاة أحد الأشخاص من سن x إلي سن x + 1 هو qx. وفي الحالات المستمرة يمكن أن نعتبر الاحتمال الشرطي للشخص الذي يبلغ x أن يموت في الفترة ما بين x و x + Δx هو :
![{\displaystyle P_{x}(\Delta x)=P(x<X<x+\Delta \;x\mid \;X>x)={\frac {F_{X}(x+\Delta \;x)-F_{X}(x)}{(1-F_{X}(x))}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57341445ff35de674401d97faa974d26bc1c7cdc)
حيث (FX(x هي دالة التوزيع التراكمي لمتغيرات عشوائية في الحالات المستمرة . ويكون قوة الوفيات هو هذا الاحتمال مقسوما على Δx . وإذا تركنا Δx تقترب إلى الصفر , تكون قوة الوفيات
:
![{\displaystyle \mu \,(x)={\frac {F'_{X}(x)}{1-F_{X}(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b902605b1687bfde2971a7f7a0210e1cfa1542)
وبما أن (fX(x)=F 'X(x فإنه يمكن التعبير عن قوة الوفيات بالعلاقة :
![{\displaystyle \mu \,(x)={\frac {f_{X}(x)}{1-F_{X}(x)}}=-{\frac {S'(x)}{S(x)}}=-{\frac {d}{dx}}\ln[S(x)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adea35ce556d6eeba23f55f141f6ce08d6ea27d2)
ولفهم كيفية عمل قوة الوفيات نعتبر العمر x وأن (fX(x تساوي صفر فتكون العلاقة كالتالي [1]:
![{\displaystyle \,\mu (x)S(x)=f_{X}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49c284a07a0d54e7cbef054d9841bd49c7f434ee)
أو بالشكل التالي
![{\displaystyle \mu (x)={\frac {f_{X}(x)}{S(x)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e5e902e4fd5858692e9362d89c8fc60ad07731)
وفي كثير من الحالات , من الأفضل تحديد احتمال البقاء على قيد الحياة عندما تكون قوة الوفيات معلومة . وذلك عن طريق أن نكامل من الفترة x إلي الفترة x + t كما يلي :
.
وباستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل . ويكون الاختصار كالتالي :
![{\displaystyle \ln[S(x+t)]-\ln[S(x)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/319ebb561bf35c08efda77182ecc917e13b86783)
وبأخذ e للطرفين
![{\displaystyle {\frac {S(x+t)}{S(x)}}=S_{x}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a98491d81be4ccea75117a3dee0941ebe5e81484)
وبذلك يكون احتمال بقاء الفرد على قيد الحياة هو :
![{\displaystyle S_{x}(t)=e^{-\int _{x}^{x+t}\mu (y)\,dy\,}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e62cf86e5f925db4e05f45c48a717f09e1c21be8)
مثال
هذا المثال مأخوذ من [2]. وهو نموذج بقاء يتبع قانون ميكهام .
![{\displaystyle \mu (y)=A+Bc^{y}\quad {\text{for }}y\geqslant 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf26bc515cf9ae098ab4424347eebdc7e00a4d51)
وباستخدام الصيغة الأخيرة نجد أن :
![{\displaystyle \int _{x}^{x+t}A+Bc^{y}dy=At+B(c^{x+t}-c^{x})/\ln[c].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dd1c8700fcad1c8421017c193fccf27735ebd43)
و
![{\displaystyle S_{x}(t)=e^{-(At+B(c^{x+t}-c^{x})/\ln[c])}=e^{-At}g^{c^{x}(c^{t}-1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33826e6da62cf932b1233e1ebe1525798c4e304b)
حيث
مقالات ذات صلة
المصادر
- R. Cunningham, T. Herzog, R. London (2008). Models for Quantifying Risk, 3rd Edition, Actex.
- Dickson, David C.M., Cambridge (2009). Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks, First Edition, Cambridge University Press.
وصلات خارجية
موسوعات ذات صلة :