لغز المساجين و القبعات هو لغز استقرائي (نوع من الألغاز المنطقية) التي تعتمد على وجود منطق حول تصرفات الآخرين.رسم في هيئة نظرية الألعاب ويدعى أحيانا التسلسل الهرمي للمعتقدات.هناك نسخ عديدة من اللغز، لكن الفكرة الاساسية تظل نفسها.ويخلط بينه وبين لغز آخر بإسم لغز القبعات.
اللغز
وفقا للقصة، تم القبض على أربعة مساجين لجريمة، لكن السجن ممتلئ والسجان لا يملك مكانًا لوضعهم.أخيرا وجد حلًا بأن يعطيهم لغزًا إذا نجحوا في حله سيخرجون أحرار وإذا لم ينجحوا سيتم إعدامهم.
وضع السجان ثلاث منهم في صف واحد.الرابع خلف جدار (أو في غرفة منفصلة) ، وأعطى الأربعة كلهم قبعات.وأعلمهم أن اثنين من هذه القبعات حمراء واثنين زرقاء، كل سجين يرتدي قبعة، وكل سجين يعرف لون قبعة الذين أمامه ولا يرى قبعته، الرجل الرابع خلف الجدار لا يرى قبعته ولا يراها أحد ولا يرى هو قبعات الآخرين أيضا، ولا يسمح بأي نوع من الاتصال بين المساجين.
إذا استطاع أحد السجناء اكتشاف لون قبعته فسيتحرر السجناء الاربعة كلهم، وإذا أجاب أحد السجناء بإجابة خاطئة فسيعدم الأربعة كلهم. اللغز وضع لكي تكتشف طريقة لهروب المساجين، بغض النظر عن توزيع السجان للقبعات.
الحل
للتوضيح لنسمي كلًا من السجناء أ ب ج على الترتيب، ب يستطيع رؤية قبعة أ، ج يستطيع رؤية قبعة أ و ب.
السجين يعلم انه يوجد قبعتين لكل لون، في هذه الحال إذا رأى ج أن أ و ب لديهم نفس اللون سيعرف ان له اللون الآخر. لكن في حال رأى ج أن أ و ب لهما لونين مختلفين، فلا يتكلم، لإن المفتاح بيد ب، فبعد أن يترك فترة مناسبة لتمر ويعلم ما سيفعل ج، يمكن لـ(ب) اتخاذ قرار لإنه بما أن ج لم يتكلم فهذا يعني أنه هو (ب) و أ لهما لونان مختلفان، حينها يعرف لون قبعته بأن اللون المعاكس لـ(أ).(السجين الرابع لا علاقة له بالحل، الهدف الوحيد منه هو ان يرتدي القبعة الرابعة).
وكما هو الحال في هذا النوع من الألغاز، فإنه يعتمد على كون المشاركين عقلانين و أذكياء بما يكفي لاختيار القرار المناسب.