مبرهنة الجذر النسبي

في الجبر، مبرهنة الجذر النسبي (بالإنكليزية: Rational root theorem) هي مبرهنة تتعلق بالحلول الجذرية لمعادلة حدودية معاملاتها أعداد صحيحة. لتكن المعادلة الحدودية

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0}$

حيث المعاملات أعداد صحيحة (${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }$) وحيث المعاملان الأول والأخير يختلفان عن الصفر (${\displaystyle a_{0},a_{n}\neq 0}$).

كل حل نسبي لـx يمكن كتابته على شكل كسر x=p/q في ابسط صورة تحقق أن p عدد صحيح يقسم ${\displaystyle a_{0}}$ و q عدد صحيح يقسم معامل ${\displaystyle a_{n}}$.
من النتائج المباشرة من المبرهنة هي أن الحل النسبي يجب أن يكون صحيحاً في حال ${\displaystyle a_{n}=1}$.

البرهان

نعرف كثيرة الحدود ${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0}$ حيث ${\displaystyle a_{n},\cdots ,a_{0}}$ أعداد صحيحة ولنفرض أن p/q حل ${\displaystyle P(x)}$ حيث p,q أوليان نسبياً.

بالتعويض في ${\displaystyle P(x)}$ نحصل على

${\displaystyle P(p/q)=a_{n}(p/q)^{n}+a_{n-1}(p/q)^{n-1}+\cdots +a_{1}(p/q)+a_{0}=0}$

وبنقل ${\displaystyle a_{0}}$ للطرف الآخر وضرب طرفي المعادلة في ${\displaystyle q^{n}}$ وأخذ ${\displaystyle p}$ كعامل مشترك نصل إلى

${\displaystyle p(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1})=-a_{0}q^{n}.}$

وبما أن ما بين الأقواس عدد صحيح ولكون p,q أوليان نسبياً نصل إلى أن ${\displaystyle p}$ تقسم a₀. و بالمثل، إذا نقلنا الحد القائد ${\displaystyle a_{n}}$ للطرف الآخر وبالضرب في ${\displaystyle q^{n}}$ نصل إلى

${\displaystyle q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1})=-a_{n}p^{n}.}$

و بالمثل نستنتج أن q تقسم a_n .

مثال

على سبيل المثال. جميع الجذور النسبية للمعادلة

${\displaystyle 3x^{3}-5x^{2}+5x-2=0\,\!}$

يجب أن يكونوا من ضمن الأعداد

± ${\displaystyle {\tfrac {1,2}{1,3}}\,,}$

والذي يعطي 8 إجابات ممكنة:

${\displaystyle 1,-1,2,-2,{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},-{\frac {2}{3}}\,.}$

يمكن إيجاد الحل منها بالعدديد من الطرق، على سبيل المثال طريقة هورنر.

مراجع

• Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: Fundamentals of College Algebra. Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 3rd edition 1990, , pp. 216–221
• Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: The historical roots of elementary mathematics. Dover Courier Publications 1998, , pp. 116–117 (online copy، صفحة. 116, في كتب جوجل)
• Ron Larson: Calculus: An Applied Approach. Cengage Learning 2007, , pp. 23–24 (online copy، صفحة. 23, في كتب جوجل)

روابط خارجية

• إيريك ويستاين، Rational Zero Theorem، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).

• RationalRootTheorem at بلانيت ماث
• Another proof that n^th roots of integers are irrational, except for perfect nth powers by Scott E. Brodie
• The Rational Roots Test at purplemath.com

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة جبر