مصفوفة معرفة موجبة

في الجبر الخطي، نقول عن المصفوفة ${\displaystyle \,M}$ الحقيقية المتساوية الأبعاد ${\displaystyle \,n\times n\,}$ بأنها معرّفة موجبة إذا كان الجداء ${\displaystyle \,z^{\mathrm {T} }Mz}$ موجبا لأجل كل شعاع عمودي ${\displaystyle \,z}$ غير صفري ذو ${\displaystyle \,n}$ عدد حقيقي. هنا تشير ${\displaystyle \,z^{\mathrm {T} }}$ إلى منقول الشعاع ${\displaystyle \,z}$

أمثلة

• المصفوفة الواحدية

${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

هي مصفوفة معرفة موجبة حيث أنها مصفوفة حقيقية ومتناظرة ولأجل كل شعاع ${\displaystyle \,z}$ غير صفري يحوي العنصرين ${\displaystyle \,a,b}$ فإنه يكون

${\displaystyle z^{\mathrm {T} }Iz={\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a^{2}+b^{2}}$

الناتج عبارة عن مجموع من المربعات وليس سالب

• المصفوفة المتناظرة الحقيقية التالية:

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}}$

هي مصفوفة معرفة موجبة حيث أنه لأجل كل شعاع ${\displaystyle \,z}$غير صفري يحوي العنصرين ${\displaystyle \,a,b}$ فإنه يكون

${\displaystyle {\begin{aligned}z^{\mathrm {T} }Mz=(z^{\mathrm {T} }M)z&={\begin{bmatrix}(2a-b)&(-a+2b-c)&(-b+2c)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\\&=2{a}^{2}-2ab+2{b}^{2}-2bc+2{c}^{2}\\&={a}^{2}+(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+{c}^{2}\end{aligned}}}$

الناتج عبارة عن مجموع من المربعات وليس سالب

• المصفوفة الحقيقية التالية

${\displaystyle N={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}}$

هي ليست معرفة موجبة. مثلا من أجل الشعاع ${\displaystyle \,z}$ له الشكل

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}}$

فإنه

${\displaystyle z^{\mathrm {T} }Nz={\begin{bmatrix}-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}=-2<0.}$

الخصائص

1. من أهم خواص المصفوفة المعرفة الموجبة هي أن كل القيم الذاتية لها هي قيم موجبة

الأشكال التربيعية

المصفوفات المعرفة السالبة - نصف المعرفة وغير المعرفة

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة جبر