معادلة أبيل

معادلة أبيل هي معادلة دالية سميت نسبة لعالم الرياضيات النرويجي نيلز هنريك أبيل يمكن كتابتها بالشكل التالي:

${\displaystyle f(h(x))=h(x+1)}$

أو الشكل التالي:

${\displaystyle \alpha (f(x))=\alpha (x)+1}$

ويتم التحكم في عدد مرات تكرار الدالة f.

المعادلة المكافئة

هاتان المعادلتان متكافئتان. بفرض أن α هي دالة عكسية، يمكن كتابه المعادلة الثانية بالصورة التالية:

${\displaystyle \alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,.}$

وبأخذ x = α⁻¹(y) يمكن كتابة المعادلة بالشكل التالي

${\displaystyle f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.}$

للدالة f(x)، بفرض أنها دالة معرفة يكون المطلوب هو حل المعادلة الدالية للدالة α⁻¹≡h، بحيث تحقق متطلبات أخرى مثل α⁻¹(0) = 1.

عند حدوث تغير كالتالي s^α(x) = Ψ(x)، لمعامل حقيقي s، تعمل معادلة أبيل كمعادلة شرودنجر Ψ(f(x)) = s Ψ(x) .

أما عند حدوث تغير كالتالي F(x) = exp(s^α(x)) تعمل المعادلة كمعادلة بوتشر F(f(x)) = F(x)^s..

تعتبر معادلة أبيل حالة خاصة لمعادلات التحويل:^[1]

${\displaystyle \omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)~,}$

${\displaystyle \omega (x,1)=f(x)}$

${\displaystyle \omega (x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+u)}$.     (لاحظ أن ω(x,0) = x.

التاريخ

قديما، كان الشكل العام للمعادلة^[2][3] يتعامل مع متغير واحد وتقدم تحليل خاص لها.^[4][5][6]

في حالة دالة التحويل الخطي، تكون الحلول حلول تقريبة.^[7]

حالة خاصة

تعتبر معادلة التكرار الأسي الرابع السالب هي حالة خاصة من حالات معادلة أبيل حيث f = exp..

في حالة التكرار يتم كتابة المعادلة بالصورة التالية:

${\displaystyle \alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2~,}$

ومنها

${\displaystyle \alpha (f_{n}(x))=\alpha (x)+n~.}$

الحلول

• الحل الرسمي: حل وحيد.^[8]
• الحلول التحليلية: حلول تقريبية.^[9]

مقالات ذات صلة

• الدوال والثوابت الرياضية
• معادلة دالية
• معادلة شرونجر

المصادر

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات