معادلة جاكوبي ومادن

معادلة جاكوبي ومادن هي معادلة ديفونتية

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}\,}$

اقترحت بواسطة الفيزيائي لي جاكوبي والرياضياتي دانيل مادن عام 2008.^[1][2] المتغيراتa، b، c، وd يمكن أن تكون أية أعداد صحيحة، موجبة، سالبة، أو 0.^[3]

بين جاكوبي ومادن أن هناك حلولا لانهائية لهذه المعادلة بمتغيرات جميعها لاصفرية.

الطريقة

ابتدأ جاكوبي ومادن بما يلي

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}}$

وبالمطابقة

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+(a+b)^{4}=2(a^{2}+ab+b^{2})^{2}}$

بإضافة ${\displaystyle (a+b)^{4}+(c+d)^{4}}$ لطرفي المعادلة،

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+(a+b)^{4}+c^{4}+d^{4}+(c+d)^{4}=(a+b)^{4}+(c+d)^{4}+(a+b+c+d)^{4}}$

يمكن ملاحظة أنها حالة خاصة من ثلاثية فيثاغورث،

${\displaystyle (a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}={\big (}(a+b)^{2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2}{\big )}^{2}={\tfrac {1}{4}}{\big (}(a+b)^{2}+(c+d)^{2}+(a+b+c+d)^{2}{\big )}^{2}}$

ومن ثم استعملوا حل برودنو ومنحنى إهليلجي معين لتأليف سلسلة لانهائية من الحلول لكل من معادلة جاكوبي ومادن ومعادلة أويلر.

كذلك لاحظ جاكوبي ومادن أن البدء بقيمة مختلفة مثل

${\displaystyle (-31764)^{4}+27385^{4}+48150^{4}+7590^{4}=(-31764+27385+48150+7590)^{4}\,}$

التي أوجدها جاروسلو، سينجم عنها سلسلة مختلفة لانهائية من الحلول.^[4]

في أغسطس 2015، أعلن سيجي توميتا عن حلين جديدين صغيرين لمعادلة جاكوبي ومادن:^[5]

${\displaystyle 1229559^{4}+(-1022230)^{4}+1984340^{4}+(-107110)^{4}=(1229559-1022230+1984340-107110)^{4}\,,}$

${\displaystyle 561760^{4}+1493309^{4}+3597130^{4}+(-1953890)^{4}=(561760+1493309+3597130-1953890)^{4}\,.}$

مقالات ذات صلة

• عدد تاكسيكاب

المصادر

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات