في الرياضيات، معيار المصفوفة (Matrix norm) هو تطبيق لمبدأ معيار المتجه علي المصفوفات.
تعريف
في ما يلي: الرمز
سيعبر عن مجال الأعداد الحقيقية والأعداد المركبة.
نفرض أن
يمثل الفضاء المتجهي الذي يحتوي كل المصفوفات ذات
صف و
عمود ذات مدخلات تنتمي للمجال
، أيضًا
هي مصفوفة تمثل مرافق المصفوفة
.
معيار المصفوفة هو معيار متجه ينتمي إلى
بحيث إذا كانت
تمثل معيار المصفوفة
فإن:
![{\displaystyle \|A\|\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a2e594dbe6d9dd4e392021d1bdba815dcc234f)
إذا كان ![{\displaystyle A=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75c34024483e6fb7c89e45aff3882ebf11d95a00)
لكل
في
لكل المصفوفات
تنتمي إلى ![{\displaystyle K^{m\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a40b12a6c68466431891e4ad965fe811743d714)
لكل المصفوفات
و
في ![{\displaystyle K^{m\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a40b12a6c68466431891e4ad965fe811743d714)
بالإضافة إلى ذلك، فإنه في حالة المصفوفة المربعة m = n فإن بعض (وليس الكل) المصفوفات تحقق التالي:
لكل المصفوفات
و
في ![{\displaystyle K^{n\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c10a4b78b51e6db58ee3f4b73b7e89eb589be5df)
معيار العامل الرياضي
إذا كان معيار المتجه في
و
معطي (حيث
هو مجال الأعداد الطبيعية والمركبة) فإنه يمكن تعريف معيار العامل الرياضي المكافئ كما يلي:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\|A\|&=\sup\{\|Ax\|:x\in K^{n}{\text{ with }}\|x\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}:x\in K^{n}{\text{ with }}x\neq 0\right\}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469acdcded255f9b5c33be4cb1fee1cf4f21f0f7)
ويكون معيار العامل الرياضي المكافئ للمعيار p في المتجهات (ويرمز له ب
) كما يلي:
![{\displaystyle \|A\|_{p}=\sup \limits _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{p}}{\|x\|_{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f09e4c6198cfd203c2e6ca7629253cb2b9bc989)
حيث p ≥ 1
هناك 3 الحالات الخاصة عند ∞,p = 1,2, ، يمكن حساب قيم المعيار كما يلي:
وهو ببساطة أقصي مجموع مطلق لعمود من أعمدة المصفوفة
وهو ببساطة أقصى مجموع مطلق لصف من صفوف المصفوفة
هذه العلاقة صحيحة بشرط أن تكون المصفوفة
من الدرجة -1 أو صفرية.
مثال:
- إذا كانت المصفوفة
معطاة كالتالي
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}-3&5&7\\2&6&4\\0&2&8\\\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95d14409702cef263da71d1ef3637f4b273c9e8)
فإن
![{\displaystyle \|A\|_{1}=\max(|{-3}|+2+0,5+6+2,7+4+8)=\max(5,13,19)=19}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/974d4e6b98b397085b26c8e17eae6698b3fc792c)
و
![{\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max(|{-3}|+5+7,2+6+4,0+2+8)=\max(15,12,10)=15.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97c3823ca31eac9b504d13751f152c979bf57346)
عند p = 2 فإن المعيار يسمي المعيار الإكليدي (Euclidean norm) وفي هذه الحالة يساوي أكبر قيمة فردية ويساوي أيضًا الجذر التربيعي للقيمة الذاتية للمصفوفة المعرفة الموجبةA∗A :
[1]
حيث A∗ تمثل مرافق المصفوفة A.
مراجع
- Carl D. Meyer,
Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, §5.2, p.281,
Society for Industrial & Applied Mathematics, June 2000.
موسوعات ذات صلة :