الجاوس التربيعي في الفترة العشوائية

قسم تحليل عددي

الجاوس التربيعي في الفترة العشوائية

صيغ نيوتن كوتس إن إذا اشتقت بمكاملة توليد كثيرة الحدود يعتبر الخطأ في توليد كثيرة الحدود من الدرجة n يتضمن : ( n+1 )

إن اشتقاق الدالة موجود ومعرب لذا صيغة نيوتن كوتس مضبوطة ودقيقة عندما يكون التقريب التكاملي لأي كثيرة حدود من الدرجة أقل من أو تساوي n تستعمل كل صيغ نيوتن كوتس قيم الدالة في النقاط المتباعدة بالتساوي هذا التقييد سهل عند الصيغ التي تجمع تشكيل القواعد المركبة ويمكن إن ينقص دقة التقريب بشكل ملحوظ

تم اشتقاق معادلات نيوتن كوتس من خلال دمج التعريف ومصطلح الخطأ في التعريف المتعدد من الدرجة n هو ( n+1 ) والواحد مشتقه من الدالة أثناء التقريب و لذلك فان صيغة نيوتن كوتس هو بالضبط عندما يتقارب جزء لا يتجزأ من أي متعدد الحدود لدرجه n≥1 وجميع صيغ نيوتن كوتس تستخدم قيم من الدالة في نقاط متباعدة بالتساوي وهذا التقييم مناسب عند قيم الجمع بين الصيغ لتشكل مركبه ولكن تقلل بشكل كبير من دقة التقريب

و مثال على ذلك : تطبيقات على شبه المنحرف لتحديد التكاملات في الدوال و جاوس التربيعي يختار النقاط الأقل مثل قيم ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\cdots xn}$ في الفترة [a,b] والمعاملات ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}\cdots cn}$ وهي أختيرت لتقليل الخطأ المتوقع الحصول عليه في التقريب

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{i=1}^{N}[cif(xi)].}$

و لقياس هذه الدقة افترضنا إن أفضل اختيار من هذه القيم يودي لأكبر فئة من متعددة الحدود يعني الاختيار يعطي أكبر درجه من الدقة المعاملات ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}\cdots cn}$ هي صيغتها في التقريب والقيم ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\cdots xn}$ هي التي تقع في الفترة [a,b] والفترة من التكامل , يعطينا N2 إذا كانت المعاملات متعددة الحدود و لتوضيح الأجزاء عين اختيار المعاملات المناسبة مثلاً : نختار N=2 والفترة هي [1,-1] والآن نريد تحديد${\displaystyle x_{1},x_{2},c_{1},c_{2}}$ من صيغ التكاملات :

${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)dx=c1f(x1)+c2f(x2)}$

وتكون النتيجة دقيقه إذا كانت f(x) من الدرجة 3 أو اقل

${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}}$

${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}}$ : مجموعة ثوابت

${\displaystyle \int (a_{0}+a_{1}+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3})dx=a_{0}\int 1dx+a_{1}\int xdx+a_{2}\int x^{2}dx+a_{3}\int x^{3}dx}$

وهذا يبين إن الصيغة تعطي نتائج دقيقه عندما ${\displaystyle f(x)=1,x,x^{2},x^{3}}$والآن نحتاج إلى ${\displaystyle x_{1},x_{2},c_{1},c_{2}}$

${\displaystyle c_{1}.1+c_{2}.1=\int (-1)^{1}1dx=2c_{1}.x_{1}+c_{2}.x_{2}=\int _{-1}^{1}xdx=0}$

${\displaystyle c_{1}.(x_{2})^{2}+c_{1}.(x_{1})^{3}+c_{2}.(x_{2})^{3}=\int _{-1}^{1}x^{3}dx=0}$

${\displaystyle c_{2}.(x_{2})^{2}\int _{-1}^{1}x^{2}dx=2/3}$

ونتبين إن هذا النظام لديه حل ${\displaystyle c_{1}=1,c_{2}=1,x_{1}={\sqrt {3}}/3,x_{2}={\sqrt {3}}/3}$ وهو يعطي هذه الصيغة :

${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)dx=f{\sqrt {3}}/3+f{\sqrt {3}}/3}$

هذه الصيغة من الدرجة 3 أي أنها تنتج نتيجة دقيقه لكل متعدد الحدود من الدرجة 3 أو أقل و علما إن P(x) متعدد الحدود من درجه أقل من n فان قليل متعدد الحدود هي :

${\displaystyle p(x)=1,p_{1}(x)=x,p_{2}(x)=x^{2}-{\frac {1}{3}},p_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{5}}}$

والجذور بسبب متعدد الحدود هي تميز تمدد في [-1,1] تناظر أو تماثل فيما يتعلق في الأصل وهي أهم من الاختيار الصحيح لتحديد المعاملات التي تعطينا العقد ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\cdots xn}$ هناك حاجة لإنتاج التكامل تقريبا صيغه إن يعطي نتائج دقيقه لأي متعدد الحدود من درجة أقل من 2n هي جذور درجة من عشر درجة متعدد الحدود وهذا هو الذي أنشأ النتيجة التالية : افترض ان ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\cdots xn}$ هي جذور من عشر متعدد الحدود Pn(x) ولكل i=1,2,3…n وc1 تعرف بـ

${\displaystyle c_{i}=\int _{-1}^{1}{\frac {x-x_{i}}{x_{i}-x_{j}}}dx}$

P(x) أي متعدد الحدود من درجة أقل من 2n فإن :

${\displaystyle \int _{-1}^{1}p(x)dx=\sum _{i=1}^{N}cip(xi).}$

مثال :

قربي ${\displaystyle \int _{0}^{1}e^{x}cosxdx}$ باستخدام جاوس التربيع عند n=3

الحل :

من خلال الجدول يعطينا :

${\displaystyle \int _{0}^{1}e^{x}cosxdx={\overline {0.5}}e^{0.774596692}cos0.774596692+{\overline {0.8}}cos0+{\overline {0.5}}e^{-0.774596692}cos(-0.774596692)=1.9333904}$

إذا من أجزاء يمكن استخدامها لإظهار ان القيمة الحقيقية للتكامل هي 1.9334241 لذلك الخطأ المطلق هو أقل من 3.2 × ^5-10

والتكامل ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$ خلال الفترة العشوائية [a,b] يمكن أن نحولها إلى التكامل خلال الفترة [1,1-] باستخدام تغيير المتغيرات :

${\displaystyle t={\frac {2x-a-b}{b-a}}<=>x={\frac {1}{2}}[(b-a)t+a+b]}$

الجاوس التربيعي يسمح أن يطبق لأي فترة [a,b] لأن :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{-1}^{1}f\left({\frac {(b-a)t+(b+a)}{2}}\right){\frac {(b-a)}{2}}dt}$

مثال :

ادرس التكامل التالي :

(1)←.. ${\displaystyle \int _{1}^{3}x^{6}-x^{2}sin(2x)dx=317.3442466}$

(A) قارن النتائج بين صيغه نيوتن كوتس المغلقة عند n=1 وصيغه نيوتن كوتس المفتوحة عند n=1 و جاوس الربيعي عند n=2 (B) قارن النتائج بين صيغه نيوتن كوتس المغلقة عند n=2 وصيغه نيوتن كوتس المفتوحة عند n=2 و جاوس التربيعي عند n=3

الحل :

(A) - أي صيغه في هذا الجزء يتطلب حلين لهذه الدالة ${\displaystyle f(x)=x^{6}-x^{2}sin(2x)}$

تقريب نيوتن كوتس هو :

مغلق n=1 ؛ 2/2 [f(1)+f(3)]=731.6054420

مفتوح n=1 ؛ (3(2⁄3))/2 [f(5/3)+f(7/3)]=188.7856682

تطبيق جاوس التربيعي لهذه المسالة يتطلب التكامل بحيث يجب تحويلها في هذه المسالة فترتها في التكامل هي [-1,1] باستخدام المعادلة (1) تعطينا :

${\displaystyle \int _{1}^{3}x^{6}-x^{2}sin(2x)dx=\int _{-1}^{1}(t+2)^{6}-(t+2)^{2}sin(2(t+2))dx}$

نطبق عند n=2 : ${\displaystyle f(x)=x^{6}-x^{2}sin(2x)={\overline {0}}.5{\begin{aligned}f(-0.5773502692+2)+{\overline {0}}.8f(2)+{\overline {0}}.5f(0.5773502692+2)=306.8199344\end{aligned}}}$

(B) - أي صيغة في هذا الجزء يتطلب 3 حلول من دوال نيوتن كوتس التقريبي هو :

مغلق n=2 ؛ 1/3 [f(1)+f(2)+f(3)]=333.2380940

مفتوح n=2 ؛ (4(1⁄2))/3 [2f(1,5)-f(2)+f(2.5)]=303.5912023

نطبق جاوس التربيعي عند n=3 وقد تم تحويلها

${\displaystyle \int _{1}^{3}x^{6}-x^{2}sin(2x)dx={\overline {0}}.5{\begin{aligned}f(-0.7745966692+2)+{\overline {0}}.8f(2)+{\overline {0}}.5f(0.7745966692+2)=317.2641516\end{aligned}}}$

إذا الجاوس التربيعي هو الأفضل في كل حال ..

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات