[1][2]
توزيع باسكال (توزيع ذي الحدين السالب)
بفرض ان هناك تجربة أو محاولة لها نتيجتان فقط هما النجاح أو الفشل وأن احتمال النجاح في أي محاولة
هو P (احتمال الفشل 1-P) نفرض أن هذه التجربة تتكرر حتى الحصول على r نجاح. فإذا كانت X عدد
مرات الفشل فيكون X + r عدد مرات اجراء التجربة حتى الحصول على r نجاح.
عدد مرات اجراء التجربة يمكن ان يكون :
وهذا يعني أن X يمكن أن تكون:
الظواهر التي يمكن أن يصفها توزيع ذي الحدين السالب كثيرة في الحياة العملية منها مثلاً :
- عندما يقرر لاعب الاعتزال عندما يبلغ عدد مرات فوز فريقة 25 فوز فتكون r=25 ,
x عدد مرات هزيمة الفريق , (X + r) عدد مرات لعب الفريق حتى يفوز في 25 مباراة .
المتغير العشوائي X يتبع توزيع ذي الحدين السالب بمعالم r, p
الداله الاحتمالية
![{\displaystyle f(x)=\mathbf {C} _{r-1}^{x+r-1}p^{r}q^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666d5547fd7491f8eb317695dcae8aef58e52e5e)
![{\displaystyle x=0,1,2,...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/434f59613bee4315dd105706b192a30afd3128ed)
q= 1-p
r عدد صحيح موجب
ويسمى توزيع الاحتمال حينئذ بتوزيع باسكال دليله p , r كما يسمى المتغير X بمتغير باسكال .
- واضح ان
لجميع قيم X كما ان
![{\displaystyle =p^{r}(1-q)^{-r}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c04be12744e6de2b295a2a675595d7ba7b97ecb)
وهذا يوكد أن
داله احتمالية وقد سميت بتوزيع ذي الحدين السالب لأن حدود مفكوك
تناظر احتمالات قيم X المتتالية. كما أن يمكن كتابتها على الصورة التالية:
![{\displaystyle f(x)=\mathbf {C} _{x}^{-r}p^{r}(-q)^{x}=\mathbf {C} _{x}^{-r}({\frac {-q}{p}})^{x}({\frac {1}{p}})^{-r-x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/937335d4e4f69fcb027807dbb45b6c3ec1a5996b)
فإذا قورنت بتوزيع ذي الحدين بمعالم :
عرفنا سبب تسميتها بتوزيع ذي الحدين السالب .
- عندما r = 1 نجد ان توزيع ذي الحدين السالب يؤول إلى التوزيع الهندسي.
متوسط التوزيع
نعلم أن :
- بتفاضل الطرفين بالنسبة إلى q نحصل على
- بالتفاضل الثاني
:
- وعلى ذلك فإن
![{\displaystyle \mu =E(x)=\sum _{x=0}^{\infty }x\mathbf {C} _{r-1}^{x+r-1}p^{r}q^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49bafc9eeb43b39912a728b10a9363b5c69d7921)
![{\displaystyle =r(1-q)^{-r-1}qp^{r}={\frac {rq}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b55c01565ea18bb34305ab86d6d74fa3fcfc3d4)
- وبالمثل فإن
![{\displaystyle E{(x(x-1))}=\sum _{x=0}^{\infty }x(x-1)\mathbf {C} _{r-1}^{x+r-1}p^{r}q^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78d8d170541791482c1b3b23d5b8f41a156eed93)
![{\displaystyle =r(r+1){\frac {q^{2}}{p^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c4ad658bdb14d4f965f3260566cbda906dbf08)
- أي أن
![{\displaystyle E(x^{2})=r(r+1){\frac {q^{2}}{p^{2}}}+{\frac {rq}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af4f1b74bdfb0292f8fb150c2bd1004c7fe19df)
تباين التوزيع
![{\displaystyle \sigma ^{2}=E(x^{2})-\mu ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b4c6361485ca0bf4195cce4b2d4962c96a00836)
![{\displaystyle =r(r+1){\frac {q^{2}}{p^{2}}}+{\frac {rq}{p}}-{\frac {r^{2}q^{2}}{p^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0a851b4a06c5a41da0d8e6b85e22132176ba35d)
![{\displaystyle ={\frac {rq}{p^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbccaedb8957f888f3894ac439ee6b6e9f192a82)
دالة توليد العزوم
![{\displaystyle M(t)=E(e^{xt})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50948f2cb3c229cac823a540e86cbc01f7683dbc)
![{\displaystyle =p^{r}\sum _{x=0}^{\infty }\mathbf {C} _{r-1}^{x+r-1}(qe^{t})^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f24e35d584f660d3a3e4dbee7169d07557985b72)
![{\displaystyle \therefore M(t)=p^{r}(1-qe^{t})^{-r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3267bbf00236955350209a874341fd5c81f0221)
![{\displaystyle M'(t)=rqp^{r}e^{t}(1-qe^{t})^{-r-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f11c4ce02e757772da91e57905b3d21dc88293f)
![{\displaystyle \therefore \mu =M'(0)=rqp^{r}(1-q)^{-r-1}={\frac {rq}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6b0875538e81c4afd13fd750cec2b546c955390)
ان الحالات التي يظهر فيها متغير باسكال تنشأ في المعتاد عندما يستخدم ما يسمى بالمعاينة التتابعية sequential sampling حيث لا يحدد حجم العينة مسبقا , بل تختار المشاهدات بتتابع عشوائي الواحدة بعد الأخرى وتتوقف هذه العملية حين يجتمع عدد كاف من المشاهدات يمكننا من اتخاذ القرار بحسب قاعدة معينه توضع سلفا .
مراجع
- نظرية الاحتمالات. الأستاذ الدكتور جلال مصطفى الصياد
- الإحصاء في البحوث العلمية. الأستاذ محمد أبويوسف
موسوعات ذات صلة :