خواص العلاقات على المجموعة

تتميز العلاقات على مجموعة بأربعة خواص هامة: الانعكاس والتماثل والتعدي والتكافؤ.

أولا: خاصية الانعكاس

تكون العلاقة ع علاقة انعكاسية على المجموعة أ عندما يرتبط كل عنصر من أ مع نفسه في العلاقة ع.

أي أن لكل س ∈ أ يجب ان يوجد (س ، س) ∈ ع. ∀ س ∈ أ ، (س ، س) ∈ ع.

ملاحظة : إذا وجدنا عنصر واحد في أ بحيث ان هذا العنصر لا يرتبط مع نفسه في ع تكون العلاقة ع علاقة غير انعكاسية.

مثال: أ = { 5 ، 6 ، 8 ، 9 } ،ع = {(5 ، 6) ، ( 5 ، 5) ، (6 ، 6) ، (8 ، 5) ، (8 ، 8) ، (9 ، 9)} ، هل العلاقة ع انعكاسية؟.

نبحث بعناصر أ ونفحص إن كان كل عنصر من أ يرتبط مع نفسه في ع .

5 ∈ أ وَ (5 ، 5) ∈ ع.

6 ∈ أ وَ (6 ، 6) ∈ ع.

8 ∈ أ وَ (8 ، 8) ∈ ع.

9 ∈ أ وَ (9 ، 9) ∈ ع.

إذن كل عنصر من أ يرتبط مع نفسه في ع أي أن لكل س ∈ أ يوجد (س ، س) ∈ ع. إذن العلاقة ع انعكاسية.

ثانياً: خاصية التماثل

تكون العلاقة ع علاقة تماثلية على المجموعة أ عندما يوجد (س ، ص) ∈ ع فإنه يجب ان يوجد (ص ، س) ∈ ع حيث س ، ص ∈ أ.

أي أنه إذا وجد زوج مرتب (س ، ص) في العلاقة ع يجب أن يوجد (ص ، س) في نفس العلاقة ع.

هنا نفحص كل الأزواج المرتبة في ع ولا نفحص عناصر المجموعة أ. ونفحص كل زوج مرتب في ع ونقوم بالبحث في العلاقة ع عن الزوج الناشيء عن تبديل مساقط ذلك الزوج المرتب. وتكون العلاقة تماثلية إذا وجدنا (ص ، س) ∈ ع لكل (س ، ص) ∈ ع.

ملاحظة: إذا وجدنا زوج مرتب واحد (س ، ص) ∈ ع وكان (ص ، س) ∉ ع تكون العلاقة ع غير تماثلية.

مثال: ع = {(7 ، 6) ، (5 ، 4) ، (6 ، 6) ، (4 ، 5) ، (3 ، 8) ، (6 ، 7) ، (8 ، 3) ، (8 ، 8)}

هل العلاقة ع تماثلية؟.

نفحص كل الأزواج المرتبة في العلاقة ع ونقوم بتبديل مساقطها ونقوم بالبحث في العلاقة ع عن الزوج الناشيء عن تبديل مساقط ذلك الزوج المرتب.

(7 ، 6) ∈ ع أيضاً (6 ، 7) ∈ ع.

(5 ، 4) ∈ ع أيضاً (4 ، 5) ∈ ع.

(6 ، 6) ∈ ع أيضاً (6 ، 6) ∈ ع لا داعي لفحص هذا الزوج المرتب لأن تبديل مساقطه يعطي نفس الزوج المرتب (6 ، 6).

(4 ، 5) ∈ ع أيضاً (5 ، 4) ∊ ع.

(3 ، 8) ∈ ع أيضاً (8 ، 3) ∈ ع.

(6 ، 7) ∈ ع أيضاً (7 ، 6) ∈ ع.

(8 ، 3) ∈ ع أيضاً (3 ، 8) ∈ ع.

(8 ، 8) ∈ ع أيضاً (8 ، 8) ∈ ع.

إذن لكل (س ، ص) ∈ ع يوجد (ص ، س) ∈ ع. إذن العلاقة ع علاقة تماثلية.

ثالثا: خاصية التعدي

تكون العلاقة ع علاقة تعدي على المجموعة أ : إذا وجدنا (س ، ص) ، (ص، ل) ∈ ع فإنه يجب أن يوجد (س ، ل) ∈ ع حيث س ، ص ، ل ∈ أ.

أي نفحص كل الأزواج المرتبة الموجودة في ع ولا نفحص عناصر المجموعة أ.

عندما نجد زوج مرتب (س ، ص) ∈ ع نبحث إذا يوجد زوج مرتب (ص ، ل) ∈ ع بحيث يكون مسقطه الأول هو نفس المسقط الثاني للزوج المرتب

(س ، ص) ؛ ثم نبحث عن الزوج المرتب (س ، ل) في ع بحيث مسقطه الأول هو المسقط الأول للزوج المرتب (س ، ص) ومسقطه الثاني هو المسقط الثاني للزوج المرتب ( ص ، ل).

ملاحظة: إذا وجدنا(س ، ص)،(ص، ل) ∈ ع وكان (س، ل) ∉ ع تكون العلاقة ع ليست علاقة تعدي.

مثال: ع = {(1 ، 2)،(4 ، 4)،(2 ، 1)،(2، 2)،(4 ، 3 )،(1 ، 1)،(3 ، 7)،(4 ، 7)،(7 ، 3)،( 3 ، 3)،(7 ، 7)}.

(1 ، 2) ، (2 ، 1) ∈ ع أيضاً (1 ، 1) ∈ ع.

(1 ، 2) ، (2 ، 2) ∈ ع أيضاً (1 ، 2) ∈ ع لا داعي لفحص الزوج المرتب الذي مساقطه متساوية لأن الزوج المرتب الناتج الثالث سيعيدنا إلى نفس الزوج المرتب الأول.

(4 ، 4) ، (4 ، 3) ∈ ع أيضاً (4 ، 3) ∈ ع لا داعي لفحص الزوج المرتب الذي مساقطه متساوية لأن الزوج المرتب الناتج الثالث سيعيدنا إلى نفس الزوج المرتب الثاني.

(2 ، 1) ، (1 ، 2) ∈ ع أيضاً (2 ، 2) ∈ ع.

(4 ، 3) ، (3 ، 7) ∈ ع أيضاً (4 ، 7) ∈ ع.

(3 ، 7) ، (7 ، 3) ∈ ع أيضاً (3 ، 3) ∈ ع.

(4 ، 7) ، (7 ، 3) ∈ ع أيضاً (4 ، 3) ∈ ع.

(7 ، 3) ، (3 ، 7) ∈ ع أيضاً (7 ، 7) ∈ ع.

إذن لكل (س ، ص) ، (ص ، ل) ∈ ع فإنه يوجد ( س ، ل) ∈ ع. إذن العلاقة ع علاقة تعدي.

رابعاً : خاصية التكافؤ

تكون العلاقة ع علاقة تكافؤ على المجموعة أ عندما تكون علاقة انعكاسية وتماثلية وتعدي معاً.

ملاحظات :

• إذا كانت العلاقة ع ليست تعدي تكون العلاقة ع ليست علاقة تكافؤ.
• إذا كانت العلاقة ع ليست تماثل تكون العلاقة ع ليست علاقة تكافؤ.
• إذا كانت العلاقة ع ليست انعكاسية تكون العلاقة ع ليست علاقة تكافؤ.

أمثلة متنوعة

المثال الأول : لتكن أ = { 4 ، 5 ، 7 ، 10 }.

هل العلاقات التالية المعرفة على أ لها خواص الانعكاس والتماثل والتعدي والتكافؤ مع بيان الأسباب.

1) ع₁ = {(4 ، 4) ، (5 ، 5) ، (7 ، 7) ، (10 ، 10) ، (4 ، 7)}.

نبحث بعناصر أ ونفحص إن كان كل عنصر من أ يرتبط مع نفسه في ع₁.

4 ∈ أ وَ (4 ، 4) ∈ ع₁.

5 ∈ أ وَ (5 ، 5) ∈ ع₁.

7 ∈ أ وَ (7 ، 7) ∈ ع₁.

10 ∈ أ وَ (10 ، 10) ∈ ع₁.

إذن كل عنصر من أ يرتبط مع نفسه في ع₁ أي أن لكل س ∈ أ يوجد ( س ، س) ∈ ع₁.

إذن العلاقة ع₁ انعكاسية.

نفحص كل الأزواج المرتبة في العلاقة ع1 ونقوم بتبديل مساقطها ونقوم بالبحث في العلاقة ع₁ عن الزوج الناشيء عن تبديل مساقط ذلك الزوج المرتب.

(4 ، 7) ∈ ع₁ لكن (7 ، 4) ∉ع₁.

إذن يوجد (س ، ص) ∈ ع₁ لكن (ص ، س) ∉ ع₁. إذن العلاقة ع₁ علاقة غير تماثلية. إذن العلاقة ع₁ ليست علاقة تكافؤ.

(4 ، 7) ، (7 ، 7) ∈ ع₁ أيضاً (4 ، 7) ∈ ع₁.

إذن لكل (س ، ص) ، (ص ، ل) ∈ ع₁ فإنه يوجد (س ، ل) ∈ ع₁. إذن العلاقة ع₁ علاقة تعدي.

2) ع₂ = {(7 ، 10)}.

العلاقة ع₂ ليست انعكاسية لأن 4 ∈ أ لكن (4 ، 4) ∉ ع₂.

العلاقة ع₂ ليست علاقة تماثلية لأن (7 ، 10) ∈ ع₂ لكن (10 ، 7) ∉ ع₂. إذن العلاقة ع₂ ليست علاقة تكافؤ.

العلاقة ع₂ علاقة تعدي حيث يوجد بها زوج مرتب واحد فقط ولا يوجد زوجين مرتبين مثل (س ، ص) ، (ص ، ل) في ع₂ وهذا لا يخالف شرط التعدي.

3) ع₃ = {(4 ، 4) ، (5 ، 5 ) ، (7 ، 7 ) ، (10 ، 10)}.

نبحث بعناصر أ ونفحص إن كان كل عنصر من أ يرتبط مع نفسه في ع₃ .

4 ∈ أ وَ (4 ، 4) ∈ ع₃.

5 ∈ أ وَ (5 ، 5) ∈ ع₃.

7 ∈ أ وَ (7 ، 7) ∈ ع₃.

10 ∈ أ وَ (10 ، 10) ∈ ع₃.

إذن كل عنصر من أ يرتبط مع نفسه في ع₃ أي أن لكل س ∈ أ يوجد (س ، س) ∈ ع₃. إذن العلاقة ع₃ انعكاسية.

العلاقة ع₃ علاقة تماثلية لأن لكل (س ، ص) ∈ ع₃ يوجد (ص ، س) ∈ ع₃ حيث أن كل زوج مرتب في ع₃ عندما نبدل مساقطه ينتج نفس الزوج المرتب.

(4 ، 4) ∈ ع₃ وَ (4 ، 4) ∈ ع₃.

(5 ، 5) ∈ ع₃ وَ (5 ، 5) ∈ ع₃.

(7 ، 7) ∈ ع₃ وَ (7 ، 7) ∈ ع₃.

(10 ،10) ∈ ع₃ وَ (10، 10) ∈ ع₃.

العلاقة ع₃ علاقة تعدي حيث يوجد بها أزواج مرتبة مساقطها متساوية ولا يوجد زوجين مرتبين مثل (س ، ص) ، (ص ، ل) في ع₃ وهذا لا يخالف شرط التعدي.

العلاقة ع₃ هي علاقة انعكاس وتماثل وتعدي إذن ع₃ هي علاقة تكافؤ.

المثال الثاني: أ = { 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ،......... }.

والعلاقة ع معرفة على أ حيث ع = {(س ، ص) ∈ أ × أ : س + ص = 5 }.

هل العلاقة ع لها خواص الانعكاس والتماثل والتعدي والتكافؤ؟.

ع = {(0 ، 5) ، (5 ، 0) ، (2 ، 3) ، (3 ، 2) ، (4 ، 1) ، (1 ، 4)}.

العلاقة ع ليست انعكاسية لأن 6 ∈ أ لكن (6 ، 6 ) ∉ ع. إذن العلاقة ع ليست علاقة تكافؤ.

(0 ، 5)∈ ع وأيضاً (5 ، 0) ∈ ع.

(2 ، 3)∈ ع وأيضاً (3 ، 2) ∈ ع.

(4 ، 1)∈ ع وأيضا (1 ، 4) ∈ ع.

العلاقة ع علاقة تماثل لأن لكل زوج مرتب (س ، ص) ∈ ع نجد (ص ، س) ∈ ع.

العلاقة ع ليست تعدي لأنه يوجد (0 ، 5) ، (5 ، 0) ∈ ع لكن (0 ، 0) ∉ ع.

المثال الثالث: : أ = { 5 ، 3 ، 14 ، 6 ، 18 ، 7 ، 9 ، 10 ، 6 }.

العلاقة ع معرفة على أ حيث ع = {(س ، ص) ∈ أ× أ : ص = 2س }.

هل العلاقة ع لها خواص الانعكاس والتماثل والتعدي؟.

ع = {(5 ، 10) ، (3 ، 6) ، (7 ، 14) ، (9 ، 18)}.

العلاقة ع ليست انعكاسية لأن 5 ∈ أ لكن (5 ، 5) ∉ ع. إذن العلاقة ع ليست علاقة تكافؤ.

العلاقة ع ليست علاقة تماثل لأن (5 ، 10) ∈ ع لكن (10 ، 5) ∉ ع.

العلاقة ع علاقة تعدي حيث يوجد بها أزواج مرتبة مثل (س ، ص) لكن لا يوجد زوجين مرتبين مثل (س ، ص) وَ (ص ، ل) في ع وهذا لا يخالف شرط التعدي.

المثال الرابع : لتكن أ = { 1 ، 2 ، 4 ، 5 }.

العلاقة ع معرفة على أ حيث ع = {(1 ، 1) ، (2 ، 2) ، (5 ، 5) ، (4 ، 4) ، (5 ، 4) ، (4 ، 5) ، (2 ، 1) ، (1 ، 2)}.

هل العلاقة ع لها خواص الانعكاس والتماثل والتعدي والتكافؤ ؟.

نبحث بعناصر أ ونفحص إن كان كل عنصر من أ يرتبط مع نفسه في ع.

1 ∈ أ وَ (1 ، 1) ∈ ع.

2 ∈ أ وَ (2 ، 2) ∈ ع.

4 ∈ أ وَ (4 ، 4) ∈ ع.

5 ∈ أ وَ (5 ، 5) ∈ ع.

إذن كل عنصر من أ يرتبط مع نفسه في ع أي أن لكل س ∈ أ يوجد (س ، س) ∈ ع. إذن العلاقة ع انعكاسية.

نفحص كل الأزواج المرتبة في العلاقة ع ونقوم بتبديل مساقطها ونقوم بالبحث في العلاقة ع عن الزوج الناشيء عن تبديل مساقط ذلك الزوج المرتب.

(5 ، 4) ∈ ع أيضاً (4 ، 5) ∈ ع.

(4 ، 5) ∈ ع أيضاً (5 ، 4) ∈ ع.

(1 ، 2) ∈ ع أيضاً (2 ، 1) ∈ ع.

(2 ، 1) ∈ ع أيضاً (1 ، 2) ∈ع.

إذن لكل (س ، ص) ∈ ع يوجد (ص ، س) ∈ ع. إذن العلاقة ع علاقة تماثلية.

(5 ، 4) ، (4 ، 5) ∈ ع أيضاً (5 ، 5) ∈ ع.

(4 ، 5) ، (5 ، 4) ∈ ع أيضاً (4 ، 4) ∈ ع.

(2 ، 1) ، (1 ، 2) ∈ ع أيضاً (2 ، 2) ∈ ع.

(1 ، 2) ، (2 ، 1) ∈ ع أيضاً (1 ، 1) ∈ ع.

إذن لكل (س ، ص) ، (ص ، ل) ∈ ع يوجد (س ، ل) ∈ ع. إذن العلاقة ع علاقة تعدي .

ع علاقة انعكاسية وتعدي وتماثل. إذن العلاقة ع هي علاقة تكافؤ.

المثال الخامس: لتكن أ = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 }.

العلاقة ع معرفة على أ حيث ع = {(1 ، 1) ، (5 ، 2) ، (2 ، 2) ، (2 ، 5) ، (3 ، 4) ، (4 ، 5) ، (3 ، 5) ، (4 ، 2) ، ( 3 ، 2) ، ( 5 ، 5)}. هل العلاقة ع لها خواص الانعكاس والتماثل والتعدي والتكافؤ ؟.

العلاقة ع ليست انعكاسية لأن 3 ∈ أ لكن (3 ، 3) ∉ ع. إذن العلاقة ع ليست علاقة تكافؤ.

نفحص كل الأزواج المرتبة في العلاقة ع ونقوم بتبديل مساقطها ونقوم بالبحث في العلاقة ع عن الزوج الناشيء عن تبديل مساقط ذلك الزوج المرتب.

(3 ، 4) ∈ ع لكن (4 ، 3) ∉ ع. إذن العلاقة ع ليست علاقة تماثلية.

(5 ، 2) ، (2 ، 5) ∈ ع أيضاً (5 ، 5) ∈ ع.

(2 ، 5) ، (5 ، 2) ∈ ع أيضاً (2 ، 2) ∈ ع.

(3 ، 4) ، (4 ، 2) ∈ ع أيضاً (3 ، 2) ∈ ع.

(3 ، 4) ، (4 ، 5) ∈ ع أيضاً (3 ، 5) ∈ ع.

(4 ، 5) ، (5 ، 2) ∈ ع أيضاً (4 ، 2) ∈ ع.

(3 ، 5) ، (5 ، 2) ∈ ع أيضاً (3 ، 2) ∈ ع.

(4 ، 2) ، (2 ، 5) ∈ ع أيضاً (4 ، 5) ∈ ع.

(3 ، 2) ، (2 ، 5) ∈ ع أيضاً (3 ، 5) ∈ ع.

إذن لكل (س ، ص) ، (ص ، ل) ∈ ع يوجد (س ، ل) ∈ ع. إذن العلاقة ع علاقة تعدي.

مقالات ذات صلة

مجموعة