دالة تشاندراسخار-كيندال

دوال تشاندراسخار-كيندال هي دوال ذاتية متناسقة لعامل التدور، مشتقة من قبل سوبراهمانيان تشاندراسيخار و كيندال في عام 1957^[1][2]، في محاولة لحل المجالات المغناطيسية الخالية من القوة. تم الحصول على النتائج بشكل مستقل من قبل كليهما، لكن تم الاتفاق على نشر الورقة معًا.

إذا كانت معادلة المجال المغناطيسي الخالية من القوة مكتوبة كالتالي ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\lambda \mathbf {H} }$ مع افتراض مجال الاختلاف الحر (${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {H} =0}$)، إذًا فالحل الأكثر عامية للحالة المتناسقة هو

${\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {1}{\lambda }}\nabla \times (\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} )+\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} }$

حيث أن ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ هو متجه وحدة و الوظيفة العددية ${\displaystyle \psi }$ تلبي معادلة هيلمهولتز، أي

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda ^{2}\psi =0}$.

تظهر المعادلة نفسها أيضًا في ديناميكيات الموائع في تدفقات بيلترامي، حيث يكون متجه الدوامية موازيًا لمتجه السرعة، أي ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$

الاشتقاق

ناخذ الدور في المادلة ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\lambda \mathbf {H} }$ وباستعمال نفس المعادلة، نحصل على

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {H} )=\lambda ^{2}\mathbf {H} }$.

في هوية المتجه ${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {H} \right)=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {H} )-\nabla ^{2}\mathbf {H} }$ يمكن أن نحدد ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {H} =0}$ لأنه ملف لولبي، يقود ذلك إلى متجه معادلة هيلمهولتز

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {H} +\lambda ^{2}\mathbf {H} =0}$.

كل حل للمعادلة أعلاه ليس هو حلًا للمعادلة الأصلية ، ولكن العكس صحيح. إذا ${\displaystyle \psi }$ هي دالة العددية التي تلبي المعادلة ${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda ^{2}\psi =0}$ ثم يتم إعطاء الحلول المستقلة الثلاثة خطيا لمعادلة هيلمهولتز المتجه بواسطة

${\displaystyle \mathbf {L} =\nabla \psi ,\quad \mathbf {T} =\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} ,\quad \mathbf {S} ={\frac {1}{\lambda }}\nabla \times \mathbf {T} }$

عندما تكون ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ هي متجه وحدة ثابت. حيث أن ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {S} =\lambda \mathbf {T} }$، يمكن إيجاد أن ${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {S} +\mathbf {T} )=\lambda (\mathbf {S} +\mathbf {T} )}$. ولكن هذا نفس ما هو موجود في المعادلة الاصلية، لهذا ${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {S} +\mathbf {T} }$ حيث أن P هي الحقل القطبي و T هي الحقل الحلقي. وهكذا، عند استبدال T بـ S، نحصل على أكثر الحلول عموميًة.

${\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {1}{\lambda }}\nabla \times (\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} )+\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} .}$

الإحداثيات القطبية الأسطوانية

بأخذ متجه الوحدة بالإتجاه Z ، أي ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {e} _{z}}$، مع الدورية L بالإتجاه Z مع قيم حدية متلاشية في ${\displaystyle r=a}$ الحل يعطى عن طريق^[3][4]

${\displaystyle \psi =J_{m}(\mu _{j}r)e^{im\theta +ikz},\quad \lambda =\pm (\mu _{j}^{2}+k^{2})^{1/2}}$

حيث أن ${\displaystyle k=\pm 2\pi n/L,\ n=0,1,2,...}$ هي دالة بيسل، ${\displaystyle m=0,\pm 1,\pm 2,...}$ الاعداد الصحيحة ${\displaystyle \mu _{j}}$ و ${\displaystyle ak\mu _{j}J_{m}'(\mu _{j}a)+m\lambda J_{m}(\mu _{j}a)=0.}$ تحددها القيمة الحدية ${\displaystyle m=n=0}$، القيم الذاتية لـ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {e} _{z}}$ يجب ان تعامل بشكل منفصل. بما أن هنا ${\displaystyle \theta }$، يمكننا أن نعتقد أن قيمة z هي حلقية و math>\mathbf{\hat n}=\mathbf{e}_z</math> بأنها قطبية، متناسقًة مع الاتفاقية.

المراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة الفيزياء