رتبة (جبر خطي)

رتبة المصفوفة (Rank of the matrix)‏ في الجبر الخطي، رتبة المصفوفة A هو حجم أكبر مجموعة من الأعمدة المستقلة خطياً من المنقولة المصفوفة A أو هي تنظيم مستطيل الشكل لمجموعة من الأعداد (تسمى المدخلات والواحدة منها مدخلة) على هيئة صفوف وأعمدة محصورة بين قوسين.^[1]

أعمدة مصفوفة لها الرتبة 4 (rank = 4) لعدم ارتباط العناصر في كل من الأعمدة خطياً

رتبة المصفوفة: إذا تكونت المصفوفة من (م) من الصفوف و(ن) من الأعمدة فإننا نعبر عن رتبتها بالرمز م× ن ( إشارة × مجرد رمز وليس لإجراء عملية الضرب ) ففي مثالنا السابق عن الكليات رتبة المصفوفة هي 3×4، حيث (3) هو عدد صفوفها و(4) هو عدد أعمدتها.

التعاريف الرئيسية

رتبة المصفوفة أ تساوي رتبة منقولة المصفوفة أ التي بدورها تساوي بعد الفضاء العامودي لمنقولة المصفوفة وهذا هو ما يعرف بالرنبة. رتبة منقولة المصفوفة يساوي بعد الفضاء العامودي لرتبة المنقولة أروهو عدد متجهات القاعدة لفضاء العامود لمنقولة المصفوفة أ. ويتم تحديد متجهات القاعدة التي تحتاجها في الفضاء الجزئي ليساوي البعد المطلوب، إذاً رتبة منقولة المصفوفة أ تساوي عدد متجهات القاعدة لفضاء العامود لمنقولة المصفوفة أ الذي يساوي فضاء الصف للمصفوفة أ وذلك لأن أعمدة منقولة المصفوفة أ تساوي صفزف المصفوفة أ ولإيجاد المنقولة يتم تبديل الصفوف والأعمدة.

التسمية

تسمية المصفوفة: يمكن أن نرمز للمصفوفة بأي حرف أبجدي أ أو ب أو ج ..... إلخ أو نسميها بأي اسم فمصفوفة مثالنا السابق يمكن أن نطلق عليها اسم مصفوفة الكليات.

أمثلة

المصفوفة:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}}$

يوجد هنا رتبة عدد 2: أول صفين مستقلين عامودياً، وبالتالي فإن رتبهما هي 2 على الأقل، وذلك لأن كل الصفوف الثلاثة تعتمد اتجاه عامودي (الأول هو مساوي لمجموع الثانية والثالثة) لذلك يجب أن تكون مرتبة أقل من رتبة 3. المصفوفة

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{bmatrix}}}$

رتبة أ = عدد الصفوف × عدد الأعمدة = 2×3 .

أ 31 هي مدخلة الصف الأول والعمود الثالث = 1 .

أ 22 هي مدخلة الصف الثاني والعمود الثاني = 4 .

لدينا رتبة 1: هناك أعمدة غير صفرية، وبالتالي فإن رتبة إيجابية، ولكن أي زوج من الأعمدة يعتمد خطيا. وبالمثل، فإن تبديل أعمدة منقولة المصفوفة أ هو لإيجاد المقولة.

${\displaystyle A^{T}={\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\\0&0\\2&-2\end{bmatrix}}}$

, i.e., rk(A) = rk(A^T).

المصادر

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1985). Matrix Analysis.  .
• Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors [1] and System of Equations [2]
• Mike Brookes: Matrix Reference Manual. [3]

انظر أيضاً

• العنصر الصفري (رياضيات)

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة جبر