طريقة بوزو

طريقة بوزو هي طريقة عامة لحل المعادلات الجبرية، من ابداع إيتيين بوزو عام 1762.

تحاول هذه الطريقة إرجاع المعادلة المرادة إلى معادلات من درجة أقل. هذه الطريقة المملة تفشل بصفة أكيدة في المعادلات من الدرجة الخامسة فما فوق لأن زمرة غالوا عندها لاتقبل الحل. مع ذلك فإنها مفيدة في حل معادلات الدرجة الثالثة.

مبدأ الطريقة

نعتبر معادلة من الدرجة n:

${\displaystyle \qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0}$

ليكن r جذرا أوليا من الرتبة n للوحدة.

نعلم أن ال n جذرا من الرتبة n للوحدة 1,r, r²,…, r^n-1 تحقق العلاقة:

${\displaystyle \qquad 1+r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}=0}$

طريقة بوزو تبحث عن جذور المعادلة المدروسة في شكل توليفات خطية للجذور من الرتبة n للوحدة.

${\displaystyle \qquad x=b_{0}+b_{1}r+b_{2}r^{2}+\cdots +b_{n-1}r^{n-1}}$

لهذا السبب نشرع في حذف r بين العلاقتين:

${\displaystyle \qquad 1+r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}=0}$

${\displaystyle \qquad x=b_{0}+b_{1}r+b_{2}r^{2}+\cdots +b_{n-1}r^{n-1}}$

مما يعطى معادلة من الدرجة n في x معاملاتها تعبيرات بدلالة ${\displaystyle \qquad b_{0},b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n-1}}$. بمساواة هذه المعاملات وتلك الخاصة بالمعادلة المرادة نحصل على نظام من معادلات في المجاهيل ${\displaystyle \qquad b_{0},b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n-1}}$ والذي بعد حله ونقل مختلف الحلول إلى:

${\displaystyle \qquad x=b_{0}+b_{1}r+b_{2}r^{2}+\cdots +b_{n-1}r^{n-1}}$

يعطينا الحلول المبحوثة.

تطبيق الطريقة لحل المعادلات التكعيبية

سنطبق الطريقة على المثال التالي:

${\displaystyle 6x^{3}-6x^{2}+12x+7=0~}$

نضع:

${\displaystyle \mathrm {j} =\mathrm {e} ^{\frac {2\mathrm {i} \pi }{3}}~}$

j جذر مكعب للوحدة ويحقق إذن:

${\displaystyle \mathrm {j} ^{3}=1~}$

طرق أخرى لحل المعادلات

طريقة تشرنهاوس

طريقة كاردان

طريقة فيراري

طريقة ديكارت

طريقة هيرميت

وصلات خارجية

Texte de Bézout (1764) sur la résolution des équations algébriques, en ligne et commenté sur Bibnum.

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة جبر