فرضية ستيرنك

سميت هاته الحدسية هكذا نسبة لعالم رياضيات اسمه فون ستيرنك، وتنص على ما يلي :

${\displaystyle \left|M(n)\right|<{\frac {\sqrt {n}}{2}}}$ عندما يكون ${\displaystyle n>200}$ حيث (M(n هي دالة ميرتنز.

لقد حسب هذا العالم في سنة 1912 قيمة (M(n بالنسبة ل ${\displaystyle n\leq 5*{10^{6}}}$ أي خمسة ملايين، فوضع حدسيته بناء على هاته الحسابات.

في سنة 1960، أثبت خطأ هاته الحدسية بإعطاء برهان على ذلك ولكن بدون إعطاء أي مثال مضاد لا يحقق الحدسية. أول مثال مضاد لا يحقق الحدسية وجد من طرف عالم اسمه نويباور.

حسب نويباور قيمة (M(n بالنسبة ل ${\displaystyle n\leq {10^{8}}}$ (أي مائة مليون) وبالنسبة لعديد من القيم المحصورة بين ${\displaystyle {10^{8}}}$ و${\displaystyle {10^{1}0}}$ (أي ما بين مائة مليون وعشرة ملايير)، فوجد أعدادا تقارب ${\displaystyle 7.77*{10^{9}}}$ ل n حيث ${\displaystyle \left|M(n)\right|>{\frac {\sqrt {n}}{2}}}$.

على كل حال، وجد ما يلي :

أصغر عدد n يحقق ${\displaystyle \left|M(n)\right|>{\frac {\sqrt {n}}{2}}}$ هو 7725030629، وحتى هذا الحد، لا يوجد أي عدد ينتهك حدسية ميرتنز، وأنه بالنسبة لكامل الأعداد حيث حسبت قيمة (M(n، تحققت المتراجحة التالية :

${\displaystyle \left|M(n)\right|<0.6*{\sqrt {n}}}$

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات