قوانين دي مورغان

تستخدم قوانين دي مورجان في قواعد المنطق في وصف نتيجة عكس عمليتي الضرب المنطقي(و) and و الجمع المنطقي(أو) or

NOT (P OR Q) = (NOT P) AND (NOT Q)

NOT (P AND Q) = (NOT P) OR (NOT Q)

و عن طريق الإشارات

${\displaystyle \neg (p\vee q)\iff (\neg p)\wedge (\neg q)}$

${\displaystyle \neg (p\wedge q)\iff (\neg p)\vee (\neg q)}$

حيث أن:

• ${\displaystyle \neg }$ علامة تعبر عن النفي المنطقي(لا)(NOT)
• ${\displaystyle \wedge }$ علامة تعبر عن الضرب المنطقي (و)(AND)
• ${\displaystyle \vee }$ علامة تعبر عن الجمع المنطقي(أو)(OR)
• ${\displaystyle \iff }$ علامةfiuoio متساويان منطقيا (إذا و فقط إذا)

وفي قوانيين الجبر البولييني

الاتحاد و التقاطع يتبدلان تحت النفي.

${\displaystyle {\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$

${\displaystyle {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}.}$

حيث أن:

• ${\displaystyle {\overline {A}}}$ هي عكس A
• ${\displaystyle \cap }$ تعبير يدل علي التقاطع(AND)
• ${\displaystyle \cup }$ تعبير يدل علي الاتحاد(OR)

الإثبات الرياضي لنظرية دي مورجان

${\displaystyle {\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$ إذا وفقط إذا ${\displaystyle {\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$ و ${\displaystyle {\overline {A\cap B}}\supseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$.

${\displaystyle x\in {\overline {A\cap B}}}$

${\displaystyle x\notin {A\cap B}}$

${\displaystyle x\notin A}$ أو ${\displaystyle x\notin B}$

${\displaystyle x\in {\overline {A}}}$ أو ${\displaystyle x\in {\overline {B}}}$

${\displaystyle x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$

لذلك ${\displaystyle {\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$

${\displaystyle x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$

${\displaystyle x\in {\overline {A}}}$ أو ${\displaystyle x\in {\overline {B}}}$

${\displaystyle x\notin A}$ أو ${\displaystyle x\notin B}$

${\displaystyle x\notin {A\cap B}}$

${\displaystyle x\in {\overline {A\cap B}}}$

لذلك ${\displaystyle {\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$

${\displaystyle {\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$ و ${\displaystyle {\overline {A\cap B}}\supseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$لذلك ${\displaystyle {\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$

${\displaystyle {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}}$ يمكن إثباتها بنفس الطريقة.

مقالات ذات صلة

وصلات خارجية

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة منطق