قوة الوفيات

في العلم الاكتواري قوة الوفيات هي محاولة الوصول إلى معدل فوري للوفيات لسن معين مقاسه على أساس سنوي . وهي مماثلة لمعدل الإخفاق , وتسمي في نظرية الموثوقية بدالة الخطر(Hazard function) .

الدافع والتعريف

في العلم الاكتواري , نعتبر احتمال وفاة أحد الأشخاص من سن x إلي سن x + 1 هو q_x. وفي الحالات المستمرة يمكن أن نعتبر الاحتمال الشرطي للشخص الذي يبلغ x أن يموت في الفترة ما بين x و x + Δx هو :

${\displaystyle P_{x}(\Delta x)=P(x<X<x+\Delta \;x\mid \;X>x)={\frac {F_{X}(x+\Delta \;x)-F_{X}(x)}{(1-F_{X}(x))}}}$

حيث (F_X(x هي دالة التوزيع التراكمي لمتغيرات عشوائية في الحالات المستمرة . ويكون قوة الوفيات هو هذا الاحتمال مقسوما على Δx . وإذا تركنا Δx تقترب إلى الصفر , تكون قوة الوفيات ${\displaystyle \mu (x)}$:

${\displaystyle \mu \,(x)={\frac {F'_{X}(x)}{1-F_{X}(x)}}}$

وبما أن (f_X(x)=F '_X(x فإنه يمكن التعبير عن قوة الوفيات بالعلاقة :

${\displaystyle \mu \,(x)={\frac {f_{X}(x)}{1-F_{X}(x)}}=-{\frac {S'(x)}{S(x)}}=-{\frac {d}{dx}}\ln[S(x)].}$

ولفهم كيفية عمل قوة الوفيات نعتبر العمر x وأن (f_X(x تساوي صفر فتكون العلاقة كالتالي ^[1]:

${\displaystyle \,\mu (x)S(x)=f_{X}(x)}$

أو بالشكل التالي

${\displaystyle \mu (x)={\frac {f_{X}(x)}{S(x)}}.}$

وفي كثير من الحالات , من الأفضل تحديد احتمال البقاء على قيد الحياة عندما تكون قوة الوفيات معلومة . وذلك عن طريق أن نكامل من الفترة x إلي الفترة x + t كما يلي :

${\displaystyle \int _{x}^{x+t}-{\frac {d}{dy}}\ln[S(y)]\,dy}$.

وباستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل . ويكون الاختصار كالتالي :

${\displaystyle \ln[S(x+t)]-\ln[S(x)],}$

وبأخذ e للطرفين

${\displaystyle {\frac {S(x+t)}{S(x)}}=S_{x}(t).}$

وبذلك يكون احتمال بقاء الفرد على قيد الحياة هو :

${\displaystyle S_{x}(t)=e^{-\int _{x}^{x+t}\mu (y)\,dy\,}.}$

مثال

هذا المثال مأخوذ من ^[2]. وهو نموذج بقاء يتبع قانون ميكهام .

${\displaystyle \mu (y)=A+Bc^{y}\quad {\text{for }}y\geqslant 0.}$

وباستخدام الصيغة الأخيرة نجد أن :

${\displaystyle \int _{x}^{x+t}A+Bc^{y}dy=At+B(c^{x+t}-c^{x})/\ln[c].}$

و

${\displaystyle S_{x}(t)=e^{-(At+B(c^{x+t}-c^{x})/\ln[c])}=e^{-At}g^{c^{x}(c^{t}-1)}}$

حيث ${\displaystyle g=e^{-B/\ln[c]}.}$

مقالات ذات صلة

• معدل الوفيات .
• علم اكتواري .
• نظرية الموثوقية .
• تأثير دمبر .

المصادر

وصلات خارجية

• http://www.fenews.com/fen46/topics_act_analysis/topics-act-analysis.htm

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة إحصاء