مجزئ القيمة المفردة

Σ_2,2كما يظهر في الشكل  تمثيل لتجزئ القيمة المطلقة (SVM)  لمصفوفة ثنائية  (اي لها عمودان وصفان) M . اولا, نرى دائرة الوحدة بالازرق مع  2 متجهين. كما نلاحظ عملية الانتقال على المصفوفة M حيث تحولت الدائرة الى قطع ناقص.  تجزئ المصفوفة الى ثلاثة انتقالات بسيطة, تدوير *V   , تكبير  Σ  على  المحورين   ,  وتدوير اخير  U.                          الطول  سجما1   و سجما2  شبه الاحداثي للقطع الناقص تعرف بمجزئة القيم المفردة للمصفوفة M,   تسمى بالاحداثيات Σ1,1 و Σ2,2  .                25

تجزيء القمية المفردة في الجبر الخطي(SVD) هو عملية تفكيك مصفوفة حقيقية أو معقدة إلى عوامل  ,وتعتبر تعميم لتجزيئ القيمة الذاتية لمصفوفة موجبة شبه معرفة (على سبيل المثال مصفوفة متاثلة ذات قيم ذاتية موجبة) إلى اي مصفوفة m*n   من خلال  تمديد التجزيئ القطبي.  لها تطبيقات مفيدة في تحليل الاشارت والإحصاء .

,  لمصفوفة حقيقية  ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ هو تجزيئها إلى عوامل  ${\displaystyle \mathbf {U\Sigma V^{*}} }$,

حيث :

${\displaystyle \mathbf {U} }$ هو مصفوفة وحدةm*m  ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ مصفوفة m*nمستطيلة قطرية ذات قيم غير سالبه وارقام قطرية  حقيقية .  ${\displaystyle \mathbf {V} }$  مصفوفة وحدة  n*n . تعرف المدخلات القطرية ل سيقماi للمصفوفة سيقما  بالقيم المفردة. واللعمودان في  U  , V يعرفان ببالمتجهات المفردة اليسرى والمتجهات المفردة اليمنى  للمصفوفة M.

Statement of the theorem

Suppose M is a m × n matrix whose entries come from the field K, which is either the field of real numbers or the field of complex numbers. Then there exists a factorization, called a singular value decomposition of M, of the form

Intuitive interpretations

The image shows:
Upper Left: The unit disc with the two canonical unit vectors
Upper Right: Unit disc transformed with M and singular Values σ₁ and σ₂ indicated
Lower Left: The action of V^∗ on the unit disc. This is just a rotation.
Lower Right: The action of ΣV^∗ on the unit disc. Sigma scales in vertically and horizontally.
In this special case, the singular values are Phi and 1/Phi where Phi is the Golden ratio. V^∗ is a (counter clockwise) rotation by an angle alpha where alpha satisfies tan(alpha) = -Phi. U is a rotation by an angle beta with tan(beta) = Phi-1