على مشعب مختلف، يمتد المشتق الخارجي مفهوم التباين لوظيفة إلى أشكال مختلفة من الدرجة العليا. تم وصف المشتقة الخارجية لأول مرة في شكلها الحالي بواسطة إيلي كارتان في عام 1899 ؛ فهو يسمح بتعميم طبيعي مستقل متري لنظرية ستوكس، ونظرية غاوس، ونظرية جرين من حساب التفاضل والتكامل.
إذا كان يُنظر إلى شكل k على أنه قياس التدفق من خلال متوازي k متوازي الصغر، فيمكن عندئذ اعتبار مشتقه الخارجي كقياس التدفق الصافي عبر حد (k + 1)
من حيث البديهيات يعرف المشتق الخارجى بأنه التخطيط الفريد ℝ الخطي من k-forms إلى (k + 1) -forms التي تحقق الخصائص التالية: df هو تفاضل f للوظائف الناعمة f.
d (df) = 0 لأي دالة ناعمة f.
d (α ∧ β) = dα ∧ β + (−1) p (α ∧ dβ) حيث α هي p-form. وهذا يعني، د هو antiderivation من الدرجة 1 على الجبر الخارجي من الأشكال التفاضلية.
الخاصية التعريفية الثانية تحمل بشكل أكثر عمومية: في الواقع، d (dα) = 0 لأي k-form α؛ أكثر إيجازًا، d2 = 0. الخاصية التعريفية الثالثة تعني كحالة خاصة إذا كانت f دالة و α a-form ، ثم d (fα) = d (f ∧ α) = df ∧ α + f ∧ dα لأن الدوال هي 0-أشكال، والضرب العددي والمنتج الخارجي متساويين عندما تكون إحدى الحجج متساوية العدد
من حيث الإحداثيات المحلية بدلا من ذلك، يمكن للمرء العمل بشكل كامل في نظام إحداثيات محلي (x1 ، ... ، xn). تشكل تباينات التنسيق dx1 ، ... ، dxn أساسًا لفضاء أشكال واحدة، يرتبط كل منها بإحداثي. بالنظر إلى مؤشر متعدد I = (i1، ...، ik) مع 1 ≤ ip ≤ n لـ 1 ≤ p ≤ k (وتشير إلى dxi1 ∧ ... ∧ dxik مع إساءة استخدام الترميز dxI) ، المشتقة الخارجية لـ نموذج بسيط (k)
من حيث صيغة ثابتة بدلاً من ذلك، يمكن إعطاء صيغة صريحة للمشتق الخارجي لـ k-form ، عندما تقترن بـ k + 1 حقول ناقل متجانس سلسة V0 ، V1 ، ... ، Vk:
المشتقة الخارجية في حساب التفاضل والتكامل معظم مشغلي متجهات حساب التفاضل والتكامل هي حالات خاصة، أو لديهم علاقات وثيقة، لمفهوم التمايز الخارجي
الانحدار وظيفة ناعمة f: M → ℝ على مشعب حقيقي مختلف M هو شكل 0. إن المشتق الخارجي لهذا الشكل 0 هو df.
عندما يتم تعريف المنتج الداخلي، · ،، ، يتم تعريف التدرج off للدالة f على أنه ناقل فريد في V بحيث يكون منتجه الداخلي مع أي عنصر من V هو مشتق الاتجاه f على طول الموجه، أي مثل ذلك