معادلات التلغراف

معادلات التلغراف في التقنية الكهربائية (بالإنجليزية: telegraph equations) هما معادلتان تفاضليتان خطيتان تصف الجهد والتيار الكهربائي في خط نقل واعتمادهما على المسافة في الموصل والزمن . توصل إلى تلك المعادلتين "أوليفر هيفيسايد" في عام 1880 حيث ابتكر نموذجا لخط نقل transmission line model . ويبين هذا النموذج أن موجة كهرومغناطيسية يمكنها الانعكاس في مثل هذا السلك وإمكانية ظهور عدة أشكال للموجة عبر طول الخط . وتنطبق النظرية والحسابات على خطوط النقل الكهربائي بمختلف الترددات ، من التردد العالي مثل خطوط التلغراف وتنطبق أيضا على موصلات تردد الراديو وأسلاك التليفون وخطوط القوى الكهربائية المنخفضة التردد وكذلك على موصلات التيار المستمر.

وحدة خط نقل

توضيح تركيب خط نقل .

تصف معادلات التلغراف الجهد والتيار في موصل باستخدام معادلات ماكسويل . ومن وجهة التبسيط العملي يعتبر الموصل مكونا من مجموعة كبيرة من مكونات الكهربائية يوصل بينها سلكين ، يتكون الموصل من عدد كبير من وحدات نقل قصيرة ، مكونة من :

• ${\displaystyle R}$ المقاومة الموزعة وتقاس بالأوم لوحدة الطول ،
• ملفات حث متتابعة ${\displaystyle L}$ (تعمل بالحث المغناطيسي) وتقاس هنري/ وحدة الطول،
• ${\displaystyle C}$ مكثف بين السلكين ، ويقاس فاراد/وحة الطول .
• موصل ${\displaystyle G}$ من مادة عازلة كهربائية تعزل السلكين حيث يحمل أحدهما الإشارة والآخر عودة الإشارة ، ويقاس سيمنز لوحدة الطول. طبقا للنموذج هذا الموصل له مقاومة ${\displaystyle 1/G}$ أوم .

يتكون خط النقل من عدد لا نهاية له من تلك الوحدات المبينة في الشكل وأن قيم الوحدات تعين بالنسبة إلى "وحدة الأطوال" . وتعتبر كل تلك العناصر لا تتغير مع الزمن وكذلك لا يتغير الجهد والتيار . أما بالنسبة إلى التردد فمن الممكن أن يتغير مع الزمن .

وظيفة كل عنصر

رسم توضيحي يبين سير موجة من دون فاقد في خط نقل وينتهي بمعاوقة توفيقية (مقاومة) . الأحمر يمثل الجهد ، والأسود إلكترونات.

يمكن وصف وظيفة كل عنصر كهربائي طبقا لما في الشكل :

• ملف الحث L يجعل الإلكترونات كما لو كان لها قصور ذاتي ، فمن الصعب زيادة أو خفض التيار عن أي نقطة . الحاث الكبير تجعل الموجة تتقدم ببطء ، مثلما تتقدم موجة على حبل غليظ فتكون بطيئة عن عبورها لحبل خفيف ، وهي تخفض التيار بمعاوقتها .
• المكثف C يضبط تنافر الإلكترونات وبالتالي يضبط مدى تجاذبهم . وعندما يكون المكثف كبيرا يكون الجاذب والتنافر صغيرين لأن السلك الثاني (الذي يحمل شحنة عكسية) يخفض من قوة التجاذب أو التنافر . (أو بمعنى آخر ] تعمل السعة الكبيرة على خفض الجهد). المكثف الكبير يجعل مرور الموجة بطيئا (يخفض الجهد عند نفس التيار) .
• R هي مقاومة كل خط ، وG تسمح بقفز إلكترونات من سلك إلى سلك . الشكل إلى اليمين يبين خط نقل من دون فاقد ، حيث كل من R وG يساوي 0.

قيم الخصائص الأولية لكابل تليفون

القيم الخاصة لنوع 24 جوج تليفون ، معزول بالبولي إيثيلين PIC عند 70° فهرنهايت.

كما توجد قوائم لأنواع كابلات أخرى تعمل حتى 50 ميجا هرتز.

الوحدات في القائمة: أوم/1000 قدم ، مللي هنري/1000 قدم ومللي سيمنز /1000 قدم ، نانوفاراد/كيلو قدم.

ويعتمد تغير R وL على تأثير جلدي (فيزياء) skin effect وتأثير القرب.

معادلات التلغراف

الخصائص العامة

إذا افترضنا خط نقل مستقيم يمتد في الاتجاه ${\displaystyle x}$ ، فتكون معادلتي التلغراف له:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {\partial U(x,t)}{\partial x}}&=-L'(x){\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}&&\,-R'(x)I(x,t)\\{\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}&=-G'(x)U(x,t)&&\,-C'(x){\frac {\partial U(x,t)}{\partial t}}\end{alignedat}}}$

وتعتمد الدالات ${\displaystyle R'}$و ${\displaystyle L'}$و ${\displaystyle G'}$ و${\displaystyle C'}$ على المسافة على الخط . وفي العادة تكون تلك خصائص ثابتة للخط ولا تتغير بالمسافة عليه ، وهي تسمى"ثوابت الخط البدئية":

• R' معامل المقاومة ويقاس بالأوم/وحدة الأطوال،
• C' معامل المكثف ويقاس بالسعة / وحدة الأطوال
• L' معامل الحث ويعطي الحث/وحدة الأطوال،
• G' معامل توصيل ويقاس بالاوم/وحدة الأطوال بين السلكين الموصلين للتيار .

استنتاج معادلتي التلغراف

الشكل 1: وحدة خط النقل .

يمكن استنتاج معادلتي التلغراف بتطبيق قانوني كيرشوف باعتبار خط النقل متكون من وحدات من تلك العناصر الكهربائية طول الوحدة ${\displaystyle \Delta x}$. وتتكون الوحدة من : سعة مكثف ${\displaystyle C=C'(x)\Delta x}$ ، ومقاومة ${\displaystyle R=R'(x)\Delta x}$، وحثها الذاتي ${\displaystyle L=L'(x)\Delta x}$. ويعبر عن الفاقد بين السلكين بالمقاومة العرضية ${\displaystyle G=G'(x)\Delta x}$ وهي عازلة بين السلكين .

وبتطبيق قانوني كيرشوف على تلك الوحدة المسلط عليها الجهد ${\displaystyle U(x,t)}$ على الملف ، والمكثف ، والمقاومة ${\displaystyle R}$ والجهد ${\displaystyle U(x+\Delta x,t)}$ في نهايتها ، فنحصل مع مراعاة الإشارات على:

${\displaystyle U(x+\Delta x,t)-U(x,t)+RI(x+\Delta x,t)+L{\frac {\partial I(x+\Delta x,t)}{\partial t}}=0.}$

وبالتعويض عن ${\displaystyle L=L'(x)\Delta x}$ و${\displaystyle R=R'(x)\Delta x}$ في المعادلة فنجد :

${\displaystyle U(x+\Delta x,t)-U(x,t)=-R'\Delta xI(x+\Delta x,t)-L'\Delta x{\frac {\partial I(x+\Delta x,t)}{\partial t}},}$

فإذا كانت ${\displaystyle \Delta x}$ صغيرة ، نحصل على:

${\displaystyle U(x+\Delta x,t)=U(x,t)+{\frac {\partial U(x,t)}{\partial x}}\Delta x}$

وينتج عن ذلك:

${\displaystyle {\frac {\partial U(x,t)}{\partial x}}\Delta x=-R'\Delta xI(x+\Delta x,t)-L'\Delta x{\frac {\partial I(x+\Delta x,t)}{\partial t}}.}$

وبالقسمة على ${\displaystyle \Delta x}$ نحصل على:

${\displaystyle {\frac {\partial U(x,t)}{\partial x}}=-R'I(x+\Delta x,t)-L'{\frac {\partial I(x+\Delta x,t)}{\partial t}}.}$

كما تنطبق في نفس الوقت :

${\displaystyle I(x+\Delta x,t)=I(x,t)+{\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}\Delta x}$

وكذلك:

${\displaystyle {\frac {\partial I(x+\Delta x,t)}{\partial t}}={\frac {\partial I}{\partial t}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial x\partial t}}\Delta x}$

فإذا كانت ${\displaystyle \Delta x}$ صغيرة ، أي ${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$، تتبسط المعادلة إلى ${\displaystyle I(x,t)}$ وبالتالي ${\displaystyle \partial I(x,t)/\partial t}$.

وبالتعويض عنها في المعادلة نحصل على:

${\displaystyle {\frac {\partial U(x,t)}{\partial x}}=-R'I(x,t)-L'{\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}},}$

وهذه هي المعادلة الأولى من معادلتي التلغراف. وبتطبيق القانون الأول لكيرشوف نحصل على:

${\displaystyle I(x+\Delta x,t)=I(x,t)-GU(x,t)-C{\frac {\partial U(x,t)}{\partial t}}.}$

وبالتعويض :

${\displaystyle I(x+\Delta x,t)=I(x,t)+{\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}\Delta x}$

وكذلك

${\displaystyle G=G'(x)\Delta x}$ und ${\displaystyle C=C'(x)\Delta x}$ تعطي بعد قسمتها على ${\displaystyle \Delta x}$ المعادلة الثانية من معادلتي التلغراف :

${\displaystyle {\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}=-G'U(x,t)-C'{\frac {\partial U(x,t)}{\partial t}}.}$

الفاقد خلال النقل

عندما يكون العنصران R وG صغيرين فيمكن إهمال تأثيرهما ويعتبر خط النقل مثاليا إذ لا يحدث فيه فاقد . في تلك الحالة فيعتمد النقل على L وC ، ونحصل على معادلتين تفاضليتين من الدرجة الأولى ، تصف أحدهما الجهد V عبر خط النقل والأخرى I، وتغيرهما مع طول الخط x والزمن t:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=-C{\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)}$

ويمكن تعديل المعادلتين فنحصل على معادلتين للموجة :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}V={\frac {1}{LC}}{\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}V}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}I={\frac {1}{LC}}{\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}I}$

وفي حالة الاستقرار باعتبار موجة جيبية (${\displaystyle E=E_{o}\cdot e^{-j\omega ({\frac {x}{v}}-t)}}$، تتبسط المعادلتين إلى :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V(x)}{\partial x^{2}}}+\omega ^{2}LC\cdot V(x)=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}I(x)}{\partial x^{2}}}+\omega ^{2}LC\cdot I(x)=0}$

حيث ${\displaystyle \omega }$ هو التردد في حالة الاستقرار.

وإذا كان الخط لا نهائي في الطول أو عند وجود معاوقة في آخره فإن تلك المعادلات تعبر عن وجود موجة تمر في الخط بسرعة ${\displaystyle v={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$.

اقرأ أيضاً

• حساب التيار المتردد
• معاوقة
• معاوقة الدخول
• دائرة مقاومة ومكثف
• دائرة مقاومة وملف
• دائرة رنان توافقي
• دائرة رنين
• مرشح
• رنان ملف ومكثف
• محاثة متبادلة

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة إلكترونيات
• موسوعة كهرومغناطيسية
• موسوعة اتصال عن بعد
• موسوعة الفيزياء
• موسوعة كهرباء