الرئيسيةعريقبحث

مفارقة راسل

☰ جدول المحتويات

مفارقة راسل (Russell's paradox)‏ والمعروفة أيضًا بـتناقض قوانين راسل والتي وضعها برتراند راسل في عام 1901، توضّح أن نظرية المجموعات المبسطة التي وضعها جورج كانتور تؤدي إلى التناقض. وكانت نفس المفارقة قد اكتشفت من قِبل إرنست تسيرميلو قبل اكتشاف راسل لها بعام ولكنه لم ينشر الفكرة التي بقيت معروفة فقط لهيلبيرت، وهوسرل وأعضاء آخرين من جامعة غوتنغن.

وطبقًا لنظرية المجموعات المبسطة، فإن أية مجموعة معرفة هي مجموعة. افترض أن آر هي مجموعة لكل المجموعات التي لا تكوّن مجموعة بنفسها. وإذا كانت آر مؤهلة لتكون مجموعة بنفسها، فإنه يتعارض مع تعريفها الخاص كـمجموعة تحتوي علي كل المجموعات ولا تكون مجموعة بنفسها. ومن ناحية أخرى، إذا كانت المجموعة لا تكون مجموعة بنفسها، فإنها تكون مؤهله لتكوين مجموعة بنفسها طبقًا لنفس التعريف. هذا التناقض هو مفارقة راسل.

وفي عام 1908، اقترحت طريقتين لتجنب التناقض، نظرية النمط (type theory) لراسل ونظرية زيرميلو للمجموعة (Zermelo set theory)، والاقتراح الأول أنشأ نظرية المجموعات البديهية (axiomatic set theory). ذهبت بديهيات زرميلو الي ما وراء بديهيات كوتلب فريج في الامتدادية ومجموعة التجريد (set abstraction) اللامحدودة، وطورت الي نظرية زرميلو- فرينكل (Zermelo–Fraenkel set theory) للكنسية المعاصرة (زي إف).[1]

تاريخها

اكتشف راسل المفارقة في شهر مايو[2] أو يونيو من عام 1901.[3] وذلك عبر تفسيره الخاص في كتابه «مقدمة في الفلسفة الرياضية» عام 1919، «حاول اكتشاف بعض العيوب في برهان كانتور بأنه لا يوجد عدد أصلي أكبر».[4] وفي رسالة كتبها عام 1902،[5] أعلن اكتشافه للمفارقة إلى جوتلوب فريجه في كتاب «مفهوم النص لفريجه» لعام 1879، ووضع صياعة للمشكلة من حيث المنطق ونظرية المجموعة، وعلى وجه الخصوص من حيث تعريف فريجه للوظيفة:    

«واجهتُ صعوبة في نقطة واحدة فقط. لقد ذكرتَ في (ص 17) أنه يمكن للوظيفة أيضًا، أن تعمل كعنصر غير محدد. هذا ما كنت أؤمن به سابقًا، لكن هذا الرأي يبدو مشكوكًا فيه الآن بسبب التناقض التالي، فليكن (دبليو) هو المَحْمول: أن يكون المَحْمول يعني ألا يكون محمولًا بشكل تلقائي. فهل يمكن أن يكون (دبليو) محمولًا إلى نفسه؟ وكل إجابة تتبع العكس. لذلك يجب أن نستنتج أن دبليو ليس محمولًا. وبالمثل، لا توجد فئة (ككل) لتلك الفئات التي لا ينتمي كل منها إلى مجموعته. من هذا أستنتج أنه في ظل حالات معينة، لا تشكل المجموعة المحددة الكُلية».

استمر راسل في تغطية ذلك بالتفصيل في كتابه «مبادئ الرياضيات» عام 1903، إذ كرر أول اكتشاف له مع المفارقة:[6]

«قبل ترك الأسئلة الأساسية، من الضروري دراسة التناقض المفرد الذي ذُكر بالفعل، بشكل أكثر تفصيلاً، فيما يتعلق بالمصطلحات التي لا يمكن التنبؤ بها. قد أذكر أنني قُدمت إليه في محاولة لإصلاح برهان كانتور...»

كتب راسل إلى فريجه حول المفارقة عندما كان فريجه يجهز المجلد الثاني من كتابه،[7] رد فريجه على راسل بسرعة كبيرة؛ ظهرت رسالته المؤرخة 22 يونيو من عام 1902، مع تعليق فان هيجينورت في (هيجينورت 1967: 126-127). ثم كتب ملحقًا يعترف فيه بالمفارقة،[8] واقترح حلاً يؤيد راسل في مبادئه الخاصة بالرياضيات،[9] ولكن اعتبره البعض لاحقًا غير مرضٍ.[10] من جانبه، عمل راسل على إضافة ملحق يشرح فيه نظرية الأنماط.[11] قدم إرنست تسيرميلو (1908) في كتابه (1908) دليلًا جديدًا على إمكانية الترتيب الجيد (الذي نُشر بالتزامن مع كتابه «نظرية المجموعة البديهية الأولى»)[12] ادعاءً باكتشاف مسبق للتضاد الموجود في نظرية المجموعة الأولية لكانتور. يقول: «ومع ذلك، حتى الشكل الأولي الذي أعطاه راسل إلى مجموعة التناقضات النظرية كان يمكن أن يقنعهم [كونيغ، جوردان، ف. بيرنشتاين] بأن حل هذه الصعوبات ليس في الاستسلام إلى الترتيب الجيد ولكن فقط في التقييد المناسب لمفهوم المجموعة».[13] والهامش 9 من الكتاب هو المكان الذي يراهن فيه على ادعائه:

«ومع ذلك، فقد اكتشفت هذا التناقض بنفسي، بشكل مستقل عن راسل، ونقلته إلى الأستاذ هيلبرت من بين الآخرين قبل عام 1903» ص. 366 - 368، 1903.[14]

أرسل فريجه نسخة من كتابه القوانين الأساسية للحساب إلى هيلبرت؛ وأشار المجلد الأخير إلى المفارقة التي نقلها راسل إلى فريجه. وبعد استلام المجلد الأخير من فريجه، في 7 نوفمبر من عام 1903، كتب هيلبرت رسالة إليه قال فيها، في إشارة إلى مفارقة راسل: «أعتقد أن الدكتور تسيرميلو اكتشفها منذ ثلاث أو أربع سنوات». اكتُشِف كتاب عن تفسير تسيرميلو الفعلي ضمن إرث الفيلسوف إدموند هوسرل.[15]

مقالات ذات صلة

  • مفارقة بينوكيو
  • المرجعية الذاتية
  • المجموعة العالمية
  • "الدلالة على"، واحدة من محاولات راسل الأولى لنقد راسل
  • نقاش كانتور القطري

ملاحظات

  1. Set theory paradoxes - تصفح: نسخة محفوظة 10 ديسمبر 2017 على موقع واي باك مشين.
  2. The Autobiography of Bertrand Russell, George Allen and Unwin Ltd., 1971, page 147: "At the end of the Lent Term [1901], I went back to Fernhurst, where I set to work to write out the logical deduction of mathematics which afterwards became Principia Mathematica. I thought the work was nearly finished but in the month of May [emphasis added] I had an intellectual set-back […]. Cantor had a proof that there is no greatest number, and it seemed to me that the number of all the things in the world ought to be the greatest possible. Accordingly, I examined his proof with some minuteness, and endeavoured to apply it to the class of all the things there are. This led me to consider those classes which are not members of themselves, and to ask whether the class of such classes is or is not a member of itself. I found that either answer implies its contradictory".
  3. Godehard Link (2004), One hundred years of Russell's paradox, صفحة 350,  , مؤرشف من الأصل في 22 مارس 2020,22 فبراير 2016
  4. Russell 1920:136
  5. Gottlob Frege, Michael Beaney (1997), The Frege reader, صفحة 253,  , مؤرشف من الأصل في 22 مارس 2020,22 فبراير 2016 . Also van Heijenoort 1967:124–125
  6. Russell 1903:101
  7. cf van Heijenoort's commentary before Frege's Letter to Russell in van Heijenoort 1967:126.
  8. van Heijenoort's commentary, cf van Heijenoort 1967:126 ; Frege starts his analysis by this exceptionally honest comment : "Hardly anything more unfortunate can befall a scientific writer than to have one of the foundations of his edifice shaken after the work is finished. This was the position I was placed in by a letter of Mr Bertrand Russell, just when the printing of this volume was nearing its completion" (Appendix of Grundgesetze der Arithmetik, vol. II, in The Frege Reader, p.279, translation by Michael Beaney
  9. cf van Heijenoort's commentary, cf van Heijenoort 1967:126. The added text reads as follows: " Note. The second volume of Gg., which appeared too late to be noticed in the Appendix, contains an interesting discussion of the contradiction (pp. 253–265), suggesting that the solution is to be found by denying that two propositional functions that determine equal classes must be equivalent. As it seems very likely that this is the true solution, the reader is strongly recommended to examine Frege's argument on the point" (Russell 1903:522); The abbreviation Gg. stands for Frege's Grundgezetze der Arithmetik. Begriffsschriftlich abgeleitet. Vol. I. Jena, 1893. Vol. II. 1903.
  10. Livio states that "While Frege did make some desperate attempts to remedy his axiom system, he was unsuccessful. The conclusion appeared to be disastrous...." Livio 2009:188. But van Heijenoort in his commentary before Frege's (1902) Letter to Russell describes Frege's proposed "way out" in some detail—the matter has to do with the " 'transformation of the generalization of an equality into an equality of courses-of-values. For Frege a function is something incomplete, 'unsaturated' "; this seems to contradict the contemporary notion of a "function in extension"; see Frege's wording at page 128: "Incidentally, it seems to me that the expression 'a predicate is predicated of itself' is not exact. ...Therefore I would prefer to say that 'a concept is predicated of its own extension' [etc]". But he waffles at the end of his suggestion that a function-as-concept-in-extension can be written as predicated of its function. van Heijenoort cites Quine: "For a late and thorough study of Frege's "way out", see Quine 1955": "On Frege's way out", Mind 64, 145–159; reprinted in Quine 1955b: Appendix. Completeness of quantification theory. Loewenheim's theorem, enclosed as a pamphlet with part of the third printing (1955) of Quine 1950 and incorporated in the revised edition (1959), 253—260" (cf REFERENCES in van Heijenoort 1967:649)
  11. Russell mentions this fact to Frege, cf van Heijenoort's commentary before Frege's (1902) Letter to Russell in van Heijenoort 1967:126
  12. van Heijenoort's commentary before Zermelo (1908a) Investigations in the foundations of set theory I in van Heijenoort 1967:199
  13. van Heijenoort 1967:190–191. In the section before this he objects strenuously to the notion of impredicativity as defined by Poincaré (and soon to be taken by Russell, too, in his 1908 Mathematical logic as based on the theory of types cf van Heijenoort 1967:150–182).
  14. Ernst Zermelo (1908) A new proof of the possibility of a well-ordering in van Heijenoort 1967:183–198. Livio 2009:191 reports that Zermelo "discovered Russell's paradox independently as early as 1900"; Livio in turn cites Ewald 1996 and van Heijenoort 1967 (cf Livio 2009:268).
  15. B. Rang and W. Thomas, "Zermelo's discovery of the 'Russell Paradox'", Historia Mathematica, v. 8 n. 1, 1981, pp. 15–22. doi:10.1016/0315-0860(81)90002-1

المراجع

  • Potter, Michael (15 January 2004), Set Theory and its Philosophy, Clarendon Press (Oxford University Press),  
  • van Heijenoort, Jean (1967, third printing 1976), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1979-1931, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press,  
  • Livio, Mario (6 January 2009), Is God a Mathematician?, New York: Simon & Schuster,  

وصلات خارجية

موسوعات ذات صلة :