موتر القصور الذاتي للمثلث

إن موتر القصور الذاتي ${\displaystyle \mathbf {J} }$ لأي مثلث (مثل موتر القصور الذاتي لأي جسم) يمكن التعبير عنه من حيث تغاير ${\displaystyle \mathbf {C} }$ الجسم:

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathrm {tr} (\mathbf {C} )\mathbf {I} -\mathbf {C} }$

في حين يُعرّف التغاير بأنه هو المنطقة التكاملية التي تعلو المثلث:

${\displaystyle \mathbf {C} \triangleq \int _{\Delta }\rho \mathbf {x} \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\,dA}$

إن تغاير أي مثلث في حيز ثلاثي الأبعاد، بافتراض أن الكتلة موزعة بالتساوي على السطح مع كثافة الوحدة، هو

${\displaystyle \mathbf {C} =a\mathbf {V} ^{\mathrm {T} }\mathbf {S} \mathbf {V} }$

حيث

• ${\displaystyle \mathbf {V} }$ تمثل مصفوفة 3 × 3 تحتوي على إحداثيات قمة المثلث ${\displaystyle (\mathbf {v} _{0},\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})}$ في الصفوف،
• ${\displaystyle a=|(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{0})\times (\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{0})|}$ هي ضعف مساحة المثلث،
• ${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{24}}{\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\\\end{bmatrix}}}$

وفي النهاية، يعطي استبدال تغاير المثلث في تعريف موتر القصور الذاتي النتيجة

${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {a}{24}}(\mathbf {v} _{0}^{2}+\mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}+(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})^{2})\mathbf {I} -a\mathbf {V} ^{\mathrm {T} }\mathbf {S} \mathbf {V} }$

البرهان على الصيغة

يتبع البرهان الوارد هنا الخطوات الواردة في المقال.^[1]

التغاير في المثلث القياسي

دعونا نحسب التغاير في المثلث قائم الزاوية مع قمم الرأس (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0).

باتباع تعريف التغاير الذي حصلنا عليه

${\displaystyle \mathbf {C} _{xx}^{0}=\int _{\Delta }x^{2}\,dA=\int _{x=0}^{1}x^{2}\int _{y=0}^{1-x}\,dy\,dx=\int _{0}^{1}x^{2}(1-x)\,dx={\frac {1}{12}}}$

${\displaystyle \mathbf {C} _{xy}^{0}=\int _{\Delta }xy\,dA=\int _{x=0}^{1}x\int _{y=0}^{1-x}y\,dy\,dx=\int _{0}^{1}x{\frac {(1-x)^{2}}{2}}\,dx={\frac {1}{24}}}$

${\displaystyle \mathbf {C} _{yy}^{0}=\mathbf {C} _{xx}^{0}}$

حيث تكون باقي عناصر ${\displaystyle C}$ صفرًا لأن المثلث هو في ${\displaystyle z=0}$

ونتيجة لذلك

${\displaystyle \mathbf {C} ^{0}={\frac {1}{24}}{\begin{bmatrix}2&1&0\\1&2&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{48}}{\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-1&0\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }+{\frac {1}{16}}{\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1&0\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$

تغاير المثلث الذي تكون قمته في المصدر

مع مراعاة المشغل الخطي

${\displaystyle \mathbf {x} '=\mathbf {A} \mathbf {x} ^{0}}$

الذي يرسم المثلث القياسي في المثلث ${\displaystyle \mathbf {v} '_{0}=\mathbf {0} }$, ${\displaystyle \mathbf {v} '_{1}=\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{0}}$, ${\displaystyle \mathbf {v} '_{2}=\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{0}}$. يحتوي أول عمودين من ${\displaystyle \mathbf {A} }$ على ${\displaystyle \mathbf {v} '_{1}}$ و ${\displaystyle \mathbf {v} '_{2}}$ على التوالي، بينما يكون العمود الثالث عشوائيًا. ويتساوى مثلث الهدف مع المثلث في المسألة (وعلى وجه الخصوص تكون مساحتهما متساوية) ولكن يتناوبان على قمة الرأس الصفرية في المصدر.

${\displaystyle \mathbf {C} '=\int _{\Delta '}\mathbf {x} '\mathbf {x} '^{\mathrm {T} }\,dA'=\int _{\Delta ^{0}}\mathbf {A} \mathbf {x} ^{0}\mathbf {x} ^{0\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }a\,dA^{0}=a\mathbf {A} \mathbf {C} ^{0}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}$

${\displaystyle \mathbf {C} '={\frac {a}{48}}(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})^{\mathrm {T} }+{\frac {a}{16}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}-2\mathbf {v} _{0})(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}-2\mathbf {v} _{0})^{\mathrm {T} }}$

التغاير في المثلث في المسألة

يتبقى آخر شيء ينبغي القيام به وهو فهم كيف يتبدل التغاير مع ترجمة جميع النقاط على الكمية الموجهة ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$.

${\displaystyle \mathbf {C} =\int _{\Delta }(\mathbf {x'} +\mathbf {v} _{0})(\mathbf {x'} +\mathbf {v} _{0})^{\mathrm {T} }\,dA=\mathbf {C} '+{\frac {a}{2}}(\mathbf {v} _{0}\mathbf {v} _{0}^{\mathrm {T} }+\mathbf {v} _{0}{\overline {\mathbf {x} }}'^{\mathrm {T} }+{\overline {\mathbf {x} }}'\mathbf {v} _{0}^{\mathrm {T} })}$

حيث

${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}'=\int _{\Delta '}\mathbf {x} '\,dA'={\frac {1}{3}}(\mathbf {v} '_{1}+\mathbf {v} '_{2})={\frac {1}{3}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}-2\mathbf {v} _{0})}$

هي المركز الوسطي للمثلث المتقطع

فمن السهل الآن التحقق من أن جميع المعاملات في ${\displaystyle \mathbf {C} }$ قبل ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}\mathbf {v} _{i}^{\mathrm {T} }}$ هي ${\displaystyle {\frac {a}{12}}}$ وبعد ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}\mathbf {v} _{j}^{\mathrm {T} }\;(i\neq j)}$ هي ${\displaystyle {\frac {a}{24}}}$. ويمكن التعبير عن ذلك في شكل مصفوفة مع ${\displaystyle \mathbf {S} }$ على النحو الوارد أعلاه.

المراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة الفيزياء