En mathématiques, les notions de borne supérieure et borne inférieure d'un ensemble de nombres réels interviennent en analyse, comme cas particulier de la définition générale suivante : la borne supérieure (ou le supremum) d'une partie d'un ensemble (partiellement) ordonné est le plus petit de ses majorants. Une telle borne n'existe pas toujours, mais si elle existe alors elle est unique. Elle n'appartient pas nécessairement à la partie considérée. Dualement, la borne inférieure (ou l'infimum) d'une partie est le plus grand de ses minorants.

Lorsque l'ensemble ordonné est celui des réels, l'existence d'une borne supérieure est assurée pour toute partie non vide et majorée : on dit que ℝ possède la propriété de la borne supérieure. Cette même propriété assure aussi l'existence d'une borne inférieure pour tout ensemble non vide et minoré de réels. Les bornes supérieure et inférieure d'un intervalle borné non vide de ℝ sont simplement ses extrémités.

Les bornes supérieure et inférieure d'une fonction sont les bornes de l'ensemble de ses valeurs.

N.B. : Les expressions anglaises upper bound et lower bound ne correspondent pas à « borne supérieure » et « borne inférieure », mais à majorant et minorant, respectivement ; « borne supérieure » se traduit par least upper bound ou supremum et « borne inférieure » par greatest lower bound ou infimum.

Définition

Propriété de la borne supérieure

On dit qu'un ensemble ordonné E possède la propriété de la borne supérieure si toute partie non vide et majorée de E possède une borne supérieure.

C'est notamment le cas de l'ensemble ordonné ℝ des réels. Mais ce n'est pas le cas de l'ensemble ordonné ℚ des rationnels.

Exemples

• Si F possède un plus grand élément (en particulier si F est une partie finie d'un ensemble E totalement ordonné comme ℝ), alors cet élément maximum est la borne supérieure de F. Dans ce cas, sup(F) appartient à F. Réciproquement, si sup(F) existe et appartient à F, alors sup(F) est le plus grand élément de F.
• Dans l'ensemble des nombres réels :
  • toute partie majorée non vide de l'ensemble des réels possède une borne supérieure ;
  • une partie non majorée (comme ℤ) ne possède pas de borne supérieure ;
  • l'ensemble vide n'a pas de borne supérieure ni inférieure ;
  • l'intervalle ]0, 1[ admet 0 comme borne inférieure et 1 comme borne supérieure ;
  • l'ensemble {(–1)ⁿ+1/n | n = 1, 2, 3…} admet –1 comme borne inférieure et 3/2 comme élément maximum (donc comme borne supérieure) ;
  • l'ensemble des rationnels dont le carré est inférieur à 2 admet √2 comme borne supérieure et –√2 comme borne inférieure ;
  • la borne supérieure de la somme A + B de deux ensembles majorés non vides A et B est égale à la somme de leurs bornes supérieures respectives ;
  • les notions d'infimum et de supremum sont duales : inf(S) = –sup(–S), où –S = { –s | s ∈ S}.
• Dans l'ensemble des nombres rationnels :
  • l'ensemble des rationnels dont le carré est inférieur à 2 est une partie majorée de ℚ qui n'a pas de borne supérieure.
• Dans la droite réelle achevée ℝ = ℝ ∪ { –∞, +∞ } :
  • les parties non vides et majorées de ℝ possèdent la même borne supérieure que dans ℝ ;
  • une partie non vide mais non majorée par un réel admet +∞ comme borne supérieure ;
  • l'ensemble vide admet –∞ comme borne supérieure, car tout élément de ℝ est un majorant de l'ensemble vide et le plus petit d'entre eux est –∞ (et il admet +∞ comme borne inférieure).
• Un treillis est un ensemble ordonné dans lequel toute paire possède une borne supérieure et une borne inférieure. Un treillis est dit complet si chacune de ses parties possède une borne supérieure et une borne inférieure (cette condition est en fait redondante). Par exemple ℝ est un treillis non complet, tandis que ℝ est un treillis complet.
• Pour tout ensemble non vide X, l'ensemble ℝ^X des applications de X dans ℝ (muni de l'ordre produit) est par conséquent complet. Ainsi, toute famille (f_i)_i∈I d'applications de X dans ℝ possède une borne supérieure ${\displaystyle \sup _{i\in I}f_{i}}$ et une borne inférieure ${\displaystyle \inf _{i\in I}f_{i}}$. Il résulte de leur définition que pour tout x ∈ X,${\displaystyle \left(\sup _{i\in I}f_{i}\right)(x)=\sup _{i\in I}\left(f_{i}(x)\right)\quad {\text{et}}\quad \left(\inf _{i\in I}f_{i}\right)(x)=\inf _{i\in I}\left(f_{i}(x)\right).}$Ainsi, l'enveloppe supérieure d'une famille de fonctions n'est autre que sa borne supérieure^[1].

Associativité

Les bornes supérieures — et, de même, les bornes inférieures — vérifient la propriété suivante d'associativité :

Dans un ensemble ordonné, soit (F_t)_t∈T une famille de parties ayant chacune une borne supérieure. Alors

${\displaystyle \sup _{t\in T}\left(\sup(F_{t})\right)=\sup \left({\cup _{t\in T}F_{t}}\right),}$

au sens où le membre de gauche de l'égalité existe si et seulement si^[2] celui de droite existe, et dans ce cas ils sont égaux.

Dans un treillis complet comme ℝ — cf. § « Exemples » ci-dessus — l'énoncé peut être simplifié (les bornes supérieures existent toujours) et l'on en déduit par exemple, pour toute famille doublement indexée (x_s,t) d'éléments du treillis :

${\displaystyle \sup _{s\in S}\left(\sup _{t\in T}(x_{s,t})\right)=\sup _{t\in T}\left(\sup _{s\in S}(x_{s,t})\right).}$

Notes et références

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Infimum » (voir la liste des auteurs).
• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Infimum » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi