Section d’un cône

Construction d'une ellipse par section d'un cône.

L’ellipse est une courbe plane qui fait partie de la famille des coniques. Elle est obtenue par l’intersection d'un plan avec un cône de révolution (non dégénéré à une droite ou un plan) lorsque ce plan traverse de part en part le cône.

Le cercle est alors un cas particulier de l'ellipse (quand le plan de coupe est perpendiculaire à l'axe du cône, sans passer toutefois par son sommet).

Directrice et foyer

Construction d'une ellipse par foyer et directrice. Ici avec une excentricité de 1/2.

Le cadre est l'espace affine euclidien de dimension 2. Soient (d) une droite, F un point n'appartenant pas à (d), e un réel dans ]0,1[. Soit P le plan affine déterminé par (d) et F. On appelle ellipse de droite directrice (d), de foyer F et d'excentricité e l'ensemble des points M du plan P vérifiant :

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {M} ,\mathrm {F} )}{\operatorname {d} (\mathrm {M} ,(d))}}=e}$

où d(M, F) mesure la distance du point M au point F et d(M, (d)) = d(M, H) celle de M à la droite (d).

La constante e de proportionnalité des deux distances, appelée excentricité de l’ellipse, est sans dimension ; elle est caractéristique de la forme de l'ellipse, indépendamment de ses isométries (translations et/ou rotations) ou homothéties (de rapport non nul) dans le plan affine, et donc du choix arbitraire de repère orthonormé pour ce plan ; elle détermine tous les autres rapports de distances (et toutes les différences angulaires) mesurés sur l'ellipse.

Notons K le projeté orthogonal de F sur (d). La droite (KF) est alors clairement un axe de symétrie de l'ellipse appelé axe focal. Les points d'intersection de l'ellipse avec son axe focal sont appelés des sommets de l'ellipse. La médiatrice du segment dont les extrémités sont ces deux sommets est également un axe de symétrie de l'ellipse, appelé petit axe de l'ellipse.

Une telle ellipse a donc deux droites directrices, symétriques l'une de l'autre par rapport au petit axe de l’ellipse et deux foyers associés également symétriques par rapport au petit axe.

Une ellipse est également entièrement déterminée par la position de ses foyers et son excentricité, ou bien encore par la position de ses droites directrices (parallèles entre elles), et son excentricité.

En géométrie euclidienne, cette définition de l'ellipse exclut le cercle, le segment de droite et le point.

Définition bifocale de l'ellipse

Construction de l'ellipse par deux foyers et une ficelle de longueur constante.

Soient F et F’ deux points distincts du plan. On appelle ellipse de foyers F et F’, l'ensemble des points M du plan vérifiant la propriété suivante :

${\displaystyle \operatorname {d} (\mathrm {M} ,\mathrm {F} )+\operatorname {d} (\mathrm {M} ,\mathrm {F} ')=2a=2{\sqrt {c^{2}+b^{2}}},\quad a\in \mathbb {R} _{+}^{*},\quad b\in \mathbb {R} _{+}^{*}}$

où 2a est la longueur du grand axe, 2c = d(F, F’) et 2b est la longueur du petit axe (perpendiculaire au grand axe). Cette relation exprime que la somme des distances d'un point M aux foyers est constante et vaut la longueur du grand axe.

Cette définition de l'ellipse permet de tracer un cercle de rayon a lorsque les deux foyers sont confondus mais on ne peut plus alors parler d'axe focal ni de petit axe. Elle permet aussi de tracer un segment de droite lorsque 2a = 2c.

Le théorème de Dandelin permet de placer géométriquement les deux foyers de l'ellipse obtenue par section d'un cône de révolution par un plan, à l'aide des deux sphères inscrites dans le cône et tangentes au plan de section. Un raisonnement analogue permet de prouver que la section d'un cylindre ou d'un hyperboloïde à une nappe par un plan coupant son axe est également une ellipse dont les foyers sont les points de tangence des sphères inscrites dans la surface de révolution et tangentes au plan.

Image d'un cercle par une affinité

L'ellipse et les deux cercles de l'affinité.

Soient (C₁) un cercle de centre O et de rayon b, (C₂) un cercle de centre O et de rayon a (b < a), appelé cercle principal, et (xx’) une droite passant par O. On appelle ellipse de centre O, de demi-grand axe a et de demi-petit axe b l'image du cercle (C₂) par l'affinité d'axe (xx’), de direction perpendiculaire à (xx’) et de rapport b/a.

Pour construire le point M de l'ellipse, image du point M₂ du grand cercle, on construit le point M₁ du cercle (C₁) situé sur [OM₂]. On mène par M₂ une perpendiculaire à (xx’) et par M₁ une parallèle à (xx’). Les droites se coupent en M. En effet, si m est le projeté orthogonal de M₂ sur (xx’), on a, d'après le théorème de Thalès,

${\displaystyle {\frac {m\mathrm {M} }{m\mathrm {M} _{2}}}={\frac {\mathrm {OM} _{1}}{\mathrm {OM} _{2}}}={\frac {b}{a}}}$

Un telle définition de l'ellipse permet de tracer un cercle lorsque le rapport de l'affinité est 1 ou un segment quand le rapport de l'affinité est 0.

Si A est un point de tangence entre l'ellipse et le grand cercle, l'angle ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {AOM} }}_{1}={\widehat {\mathrm {AOM} }}_{2}}$ est appelé l'anomalie excentrique et peut servir de paramètre simple dans une équation paramétrée de l'ellipse.

Construction par un cercle directeur

Ellipse et une portion de son cercle directeur.

Soient F et F’ deux points distincts, (C) un cercle de centre F’ et de rayon 2a (2a > FF’).

On appelle ellipse de cercle directeur (C) et de foyer F, l'ensemble des centres des cercles tangents intérieurement à (C) et passant par F.

Pour construire le point M sur l'ellipse, centre du cercle tangent à (C) en m, on trace la médiatrice du segment [Fm] : cette médiatrice rencontre le rayon [F’m] en M (le centre du cercle tangent) ; cette médiatrice est aussi une tangente en M de l’ellipse. On peut également obtenir l'ellipse par pliages : sur une feuille de papier, on dessine le cercle directeur et le foyer F et on plie la feuille de papier de manière à superposer un point du cercle avec le foyer F, l'ensemble des pliures obtenues dessine le faisceau des tangentes à l'ellipse.

La figure obtenue est symétrique par rapport au segment [FF’]. L'ellipse possède donc un autre cercle directeur de centre F et de rayon 2a.

Lorsque les deux points F et F’ sont confondus, une telle définition permet de tracer un cercle de centre F et de rayon a. Lorsque le rayon du cercle directeur est exactement égal à la distance FF’, la construction conduit au tracé du segment [FF’] : lorsque le point m est en F, les centres des cercles tangents intérieurement (C) décrivent le segment [FF’], lorsque m est distinct de F, le seul cercle tangent à (C) et passant par F est le cercle (C) lui-même et son centre est F’.

On peut également remarquer que le foyer F se projette orthogonalement sur la tangente en M en un point m’ appartenant au cercle principal de l'ellipse (le cercle de centre O et de rayon a). Plus précisément, l'ensemble des projetés de F sur les tangentes à l'ellipse dessine le cercle principal de l'ellipse^[2], ce qui fait du cercle principal la podaire de l'ellipse par rapport à son foyer, et de l'ellipse l'anti-podaire du cercle principal par rapport au foyer.

Hypotrochoïde

Construction d'une ellipse comme hypotrochoïde : le cercle noir tourne à l'intérieur du cercle bleu, le point rouge décrit alors une ellipse.

Si on fait rouler sans glissement un cercle de centre O’ de rayon R à l'intérieur d'un cercle de centre O et de rayon 2R, le lieu parcouru par un point M, solidaire du petit cercle, situé à une distance d du centre O’ parcourt une ellipse. Son centre est O, ses demi-axes sont R + d et |R – d|. L'ellipse est donc un cas particulier d'hypotrochoïde.

Éléments de symétrie

« L’axe focal » (FF'), aussi appelé « axe principal », passant par les foyers et perpendiculaire aux directrices, est un axe de symétrie de l'ellipse ; il en est de même pour « l'axe secondaire », perpendiculaire à l'axe focal et passant par le « centre de l'ellipse » au milieu du « segment focal » [FF'].

L'intersection de l'axe focal et de l'axe secondaire, au centre de l'ellipse, est aussi un centre de symétrie.

Les points d'intersection de l'ellipse avec son axe focal sont appelés sommets principaux, ceux de l'ellipse avec son axe secondaire sont les sommets secondaires.

Le segment diamétral qui joint les sommets principaux (respectivement secondaires) en passant par le centre de l'ellipse est appelée « grand axe » (respectivement « petit axe »), comme aussi toute mesure de sa longueur une fois fixée l'unité arbitraire de longueur.

Tangente et bissectrice

La bissectrice du secteur angulaire formé par les droites reliant un point de l'ellipse aux foyers est perpendiculaire à la tangente en ce point.

Soit une ellipse dont les foyers sont F et F'. En un point M de cette ellipse, considérons la bissectrice du secteur angulaire (FMF'). Alors, cette bissectrice est perpendiculaire à la tangente en M.

Cette propriété, aussi appelée « propriété de réflexivité », est utilisée en optique géométrique dans les miroirs elliptiques : un rayon lumineux qui passe par un des foyers, lorsqu'il est réfléchi, passe par l'autre foyer. Ainsi, si l'on met une ampoule à un foyer d'un miroir elliptique, le faisceau lumineux se concentre sur l'autre foyer. Elle est également utilisée dans la construction de réflecteur de phare associé à une lentille convergente^[3].

Chambre à écho, gravure de Friedrich Schultes dans Neue Hall- und Thon-Kunst d'Athanasius Kircher et Tobias Nislen (1684).

On la retrouve en acoustique : dans une pièce de forme elliptique, une personne placée à l'un des foyers peut entendre aisément ce que murmure une personne placée à l'autre. En effet, si la source d'un son se trouve à l’un des foyers, cette propriété assure que tous les sons réfléchis vont converger vers l'autre foyer, compensant la perte d'énergie sonore due à la distance parcourue, par la concentration vers le même point des multiples faisceaux réfléchis. Cependant, cette propriété de convergence spatiale ne suffit pas à assurer que le son perçu soit identique au son émis au foyer source car les signaux suivant différents trajets doivent pour cela arriver en phase à l'autre foyer. Si la nature du milieu est homogène (air ambiant par exemple), la vitesse de propagation du son y est constante, il faut alors pour que les signaux convergent en phase que les distances parcourues selon les différents trajets soient identiques. Or la somme des distances d'un point de l'ellipse aux foyers est constante pour tout point ce qui assure donc la convergence temporelle des signaux. C'est le cumul de ces deux propriétés de l'ellipse qui permet à la fois de comprendre à un foyer des paroles prononcées à l’autre (égale longueur des trajets maintenant les signaux en phase), et de les entendre même si elles ne sont que murmurées (convergence des trajets concentrant l’énergie des signaux). Cette propriété acoustique des voûtes elliptiques est connue au moins depuis le XVII^e siècle^[4]. Elle serait à l'origine de la construction de chambres à écho^[5], de confessionnaux pour lépreux^[6] et expliquerait les qualités sonores des stations de métro parisiennes^[6]. La rotonde du Capital Building à Washington et le Mormon Tabernacle à Salt Lake City sont des exemples de cette sorte de galeries^[7].

Cette propriété est également utilisée en urologie dans les lithotriteurs extra-corporels : les ondes de choc émises à l'un des foyers de l'ellipse se concentrent, après réflexion sur un réflecteur ellipsoïde, sur l'autre foyer placé judicieusement sur le calcul à détruire^[8].

Cercle orthoptique

Ellipse et son cercle orthoptique.

L'ensemble des points M qui « regardent » l'ellipse suivant un angle droit, c'est-à-dire dont partent deux tangentes à l'ellipse perpendiculaires, dessine un cercle de même centre que l'ellipse et de rayon ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$, appelé cercle orthoptique, ou cercle de Monge de l'ellipse^[9],[10].

Équation cartésienne

Dans le repère défini par le demi grand axe et le demi petit axe de l'ellipse, son équation est (si l'axe focal est x) :

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$ ;

avec a > b > 0. La distance du centre de l'ellipse à l'un des foyers vaut :

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

et donc l'excentricité vaut :

${\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}}$

Si l'axe focal est y alors a et b sont inversés.

Si une ellipse n'est pas centrée à l'origine d'un système de coordonnées, mais que son grand axe et son petit axe restent parallèles aux axes des coordonnées, celle-ci peut être spécifiée par l'équation suivante :

${\displaystyle {\frac {(x-u)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-v)^{2}}{b^{2}}}=1}$

où les paramètres u et v sont les coordonnées du centre de l'ellipse.

Dans le cas où les axes de l'ellipse ne sont plus alignés avec les axes du plan mais tournés d'un angle θ par rapport au repère initial, on obtient l'équation cartésienne suivante :

${\displaystyle {\frac {[(x-u)\cos \theta +(y-v)\sin \theta ]^{2}}{a^{2}}}+{\frac {[(x-u)\sin \theta -(y-v)\cos \theta ]^{2}}{b^{2}}}=1}$

Comme toute conique, une ellipse possède une équation de la forme :

${\displaystyle \mathrm {A} x^{2}+\mathrm {B} xy+\mathrm {C} y^{2}+\mathrm {D} x+\mathrm {E} y+\mathrm {F} =0}$

avec la contrainte B² – 4AC < 0. B étant réel, on en déduit immédiatement que A et C sont non nuls et de même signe (AC > (B/2)² ≥ 0).

On a alors la relation :

• ${\displaystyle u={\frac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}}}$
• ${\displaystyle v={\frac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}}}$

Le coefficient B vaut 0 si les axes de l'ellipse sont parallèles à ceux de coordonnées. On a alors :

${\displaystyle \mathrm {A} x^{2}+\mathrm {C} y^{2}+\mathrm {D} x+\mathrm {E} y+\mathrm {F} =0}$

avec, à un coefficient de proportionnalité près :

• A = 1/a² ;
• C = 1/b² ;
• D = –2u/a² ;
• E = –2v/b² ;
• F = u²/a² + v²/b² – 1.

Réciproquement, une équation de la forme

${\displaystyle \mathrm {A} x^{2}+\mathrm {C} y^{2}+\mathrm {D} x+\mathrm {E} y+\mathrm {F} =0}$

dans laquelle A, C et ${\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {\mathrm {D} ^{2}}{4\mathrm {A} }}+{\frac {\mathrm {E} ^{2}}{4\mathrm {C} }}-\mathrm {F} }$ sont de même signe, est l'équation d'une ellipse pour laquelle

• ${\displaystyle a={\sqrt {\mathrm {K} /\mathrm {A} }}}$ ;
• ${\displaystyle b={\sqrt {\mathrm {K} /\mathrm {C} }}}$ ;
• ${\displaystyle u=-\mathrm {D} /{2\mathrm {A} }}$ ;
• ${\displaystyle v=-\mathrm {E} /{2\mathrm {C} }}$.

Forme matricielle

Nous pouvons exprimer l'équation cartésienne sous forme matricielle^[11] :

${\displaystyle ^{\mathrm {t} }\mathbf {x} \mathbf {A} \mathbf {x} +^{\mathrm {t} }\mathbf {b} \mathbf {x} +c=0}$

où

• ${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$ ; ${\displaystyle ^{\mathrm {t} }\mathbf {x} }$ est la transposée de x ;
• ${\displaystyle \mathbf {A} }$ est une matrice symétrique réelle définie positive 2×2, ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\mathrm {A} &\mathrm {B} /2\\\mathrm {B} /2&\mathrm {C} \end{pmatrix}}}$ ;
• ${\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}\mathrm {D} \\\mathrm {E} \end{pmatrix}}}$ ; ${\displaystyle ^{\mathrm {t} }\mathbf {b} }$ est la transposée de ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ;
• c= F.

On peut effectuer une rotation de matrice Q et une translation de matrice t, en effectuant un changement de coordonnées :

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {Q} {\bar {\mathbf {x} }}+\mathbf {t} }$

l'équation devient :

${\displaystyle ^{\mathrm {t} }{\bar {\mathbf {x} }}(^{\mathrm {t} }\mathbf {Q} \mathbf {A} \mathbf {Q} )^{\mathrm {t} }{\bar {\mathbf {x} }}+(2^{\mathrm {t} }\mathbf {t} \mathbf {A} +^{\mathrm {t} }\mathbf {b} )\mathbf {Q} {\bar {\mathbf {x} }}+^{\mathrm {t} }\mathrm {t} \mathbf {A} \mathbf {t} +^{\mathrm {t} }\mathbf {b} \mathbf {t} +c=0}$.

En posant :

${\displaystyle {\bar {\mathbf {A} }}=^{\mathrm {t} }\mathbf {Q} \mathbf {A} \mathbf {Q} }$

${\displaystyle {\bar {\mathbf {b} }}=(2^{\mathrm {t} }\mathbf {t} \mathbf {A} +^{\mathrm {t} }\mathbf {b} )\mathbf {Q} }$

${\displaystyle {\bar {c}}=^{\mathrm {t} }\mathbf {t} \mathbf {A} \mathbf {t} +^{\mathrm {t} }\mathbf {b} \mathbf {t} +c}$

on obtient l'équation

${\displaystyle ^{\mathrm {t} }{\bar {\mathbf {x} }}{\bar {\mathbf {A} }}{\bar {\mathbf {x} }}+^{\mathrm {t} }{\bar {\mathbf {b} }}{\bar {\mathbf {x} }}+{\bar {c}}=0}$.

On peut alors choisir Q de sorte que ${\displaystyle {\bar {\mathbf {A} }}}$ soit une matrice diagonale

${\displaystyle {\bar {\mathbf {A} }}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{pmatrix}}}$

et ${\displaystyle \mathbf {t} }$ de sorte que ${\displaystyle {\bar {\mathbf {b} }}}$ soit nulle. L'équation cartésienne s'écrit alors

${\displaystyle \lambda _{1}{\bar {x}}^{2}+\lambda _{2}{\bar {y}}^{2}+{\bar {c}}=0}$.

Le centre de l'ellipse a alors pour coordonnées t, et les grand et petit axes valent :

${\displaystyle a={\sqrt {-{\bar {c}}/\lambda _{1}}}}$ ;

${\displaystyle b={\sqrt {-{\bar {c}}/\lambda _{2}}}}$.

Équation paramétrique

Dans un repère orthonormé du plan affine, dont les vecteurs directeurs sont parallèles aux axes de l'ellipse et où (x_C, y_C) sont les coordonnées du centre de l'ellipse, un paramétrage possible de l'ellipse est :

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{\mathrm {C} }+a\cos t\\y=y_{\mathrm {C} }+b\sin t\end{cases}}\quad t\in \mathbb {R} }$

Ce paramétrage est périodique, de période 2π, ce qui signifie qu'on peut aussi le restreindre à un intervalle semi-ouvert de longueur minimale égale à cette période, par exemple à ${\displaystyle t\in [0,2\pi [}$. Toute restriction du paramètre à un intervalle fermé de longueur inférieure donne un arc fermé ne parcourant qu'une partie de l'ellipse.

Pour ce paramétrage, le rayon de courbure r au point M de paramètre t est donné par

${\displaystyle r(t)={\frac {a^{2}}{b}}\left(1-e^{2}\cos ^{2}t\right)^{3/2}\qquad t\in \mathbb {R} }$

D'où, en particulier, aux sommets :

• ${\displaystyle r(0)={\frac {b^{2}}{a}}}$
• ${\displaystyle r(\pi /2)={\frac {a^{2}}{b}}}$

Ces deux rayons de courbures permettent une construction approchée de l'ellipse à l'aide de 4 arcs de cercle^[12].

Si l'on travaille dans le plan complexe, la représentation paramétrique de l'ellipse de centre C et de demi-axes a et b est

${\displaystyle z=z_{\mathrm {C} }+{\frac {a+b}{2}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}+{\frac {a-b}{2}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t}\quad t\in \mathbb {R} }$

Si maintenant les axes de l'ellipse ne sont plus alignés avec les axes du plan mais tourné d'un angle θ, on obtient l'équation paramétrique en multipliant les coordonnées relatives au centre par la matrice de rotation :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}a\cos t\\b\sin t\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\cos \theta \cos t-b\sin \theta \sin t\\a\sin \theta \cos t+b\cos \theta \sin t\end{pmatrix}}}$

et l'équation paramétrique devient

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{\mathrm {C} }+a\cos \theta \cos t-b\sin \theta \sin t\\y=y_{\mathrm {C} }+a\sin \theta \cos t+b\cos \theta \sin t\end{cases}}\quad t\in \mathbb {R} }$

que l'on peut aussi noter^[13] :

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{\mathrm {C} }+a_{x}\cos t+b_{x}\sin t\\y=y_{\mathrm {C} }+a_{y}\cos t+b_{y}\sin t\end{cases}}\quad t\in \mathbb {R} }$

avec

• a_x = a cos θ ;
• a_y = a sin θ ;
• b_x = –b sin θ ;
• b_y = b cos θ.

Équation polaire

Dans le repère défini par le foyer F et l'axe focal, avec l'origine des angles du côté opposé de la directrice, l'équation polaire de l'ellipse est :

${\displaystyle \qquad r_{1}(\theta _{1})={\frac {p}{1-e\cos \theta _{1}}}={\frac {(a-c)(a+c)}{a-c\cos \theta _{1}}}\qquad \theta \in \mathbb {R} .}$

La 1^re forme permet de retrouver la définition de p (le demi latus rectum) avec ${\displaystyle r_{1}\left({\pi \over 2}\right)=p}$

La 2^e forme permet de voir immédiatement

${\displaystyle r_{1}(0)=a+c\quad {\text{ et }}\quad r_{1}(\pi )=a-c}$

Remarque : ${\displaystyle \qquad r_{1}(\theta _{1})={\frac {p}{1+e\cos \theta _{1}}}}$ quand l'origine des angles est prise du côté de la directrice.

Dans le repère défini par le centre 0 et l'axe focal, l'équation polaire est :

${\displaystyle \qquad r_{2}^{2}(\theta _{2})={\frac {b^{2}}{1-e^{2}\cos ^{2}\theta _{2}}}={\frac {a^{2}b^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\theta _{2}+b^{2}\cos ^{2}\theta _{2}}}\qquad \theta \in \mathbb {R} .}$

La 2^e forme permet de voir immédiatement ${\displaystyle r_{2}(0)=r_{2}(\pi )=a}$ et ${\displaystyle r_{2}\left({\pi \over 2}\right)=r_{2}\left({3\pi \over 2}\right)=b}$

Paramètres d'une ellipse

Le paramétrage d'une ellipse est un point important pour les algorithmes de régression ou de reconnaissance de forme. Une ellipse est décrite par cinq paramètres.

Développements en séries

Le premier développement en série est attribué à Colin Maclaurin mais on en trouve également une démonstration chez Euler en 1749^[16]. Il s'obtient en utilisant le développement en série de ${\displaystyle (1-x)^{1/2}}$ pour x plus petit que 1 puis en intégrant par récurrence des expressions comme ${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {u^{2n}}{\sqrt {1-e^{2}u^{2}}}}\mathrm {d} u}$ pour Euler^[16] ou bien en utilisant les intégrales de Wallis, si c'est la forme trigonométrique qui est privilégiée^[20]. Il s'exprime en fonction de a, demi grand axe et e excentricité par :

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=2\pi a\sum _{n=0}^{+\infty }\left[{\dfrac {(2n)!}{(2^{n}\cdot n!)^{2}}}\right]^{2}{\frac {-e^{2n}}{2n-1}}\\&=2\pi a\left[1-\left({\dfrac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}-\left({\dfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\dfrac {e^{4}}{3}}-\left({\dfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}{\dfrac {e^{6}}{5}}-\cdots \right]\\&=2\pi a\left[1-{\dfrac {1}{4}}e^{2}-{\dfrac {3}{64}}e^{4}-{\dfrac {5}{256}}e^{6}-{\dfrac {175}{16384}}e^{8}-{\dfrac {441}{65536}}e^{10}\cdots \right]\end{aligned}}}$

On peut aussi l'exprimer par :

${\displaystyle L=2\pi a\cdot {}_{2}{\rm {F}}_{1}\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;e^{2}\right)}$,

où ${\displaystyle {}_{2}{\rm {F}}_{1}}$ est la série hypergéométrique de Gauss.

Le principal défaut de la série ci-dessus est que sa convergence est très lente pour des excentricités proches de 1, c'est-à-dire pour des ellipses aplaties^[21]. Elle reste toutefois utile sur le plan théorique car elle permet de comparer les autres formules donnant des approximations de la circonférence, puisqu'on peut toujours les développer sous forme de série de Taylor, et par différence déterminer la série de Taylor donnant les erreurs relatives commises par ces formules alternatives, en fonction de l'excentricité.

Le second développement intéressant est démontré par Sir James Ivory en 1796^[22]. Il porte également le nom de série de Gauss-Kummer pour leur travail consistant à prouver l'équivalence entre plusieurs séries hypergéométriques^[17]. C'est un développement symétrique en a et b s'exprimant à l'aide de la quantité ${\displaystyle h=\left({a-b \over a+b}\right)^{2}}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=\pi (a+b)\cdot {}_{2}{\rm {F}}_{1}\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}};1;h\right)\\&=\pi (a+b)\sum _{n=0}^{+\infty }{{\frac {1}{2}} \choose n}^{2}h^{n}=\pi (a+b)\sum _{n=0}^{+\infty }\left[{{\dfrac {(2n)!}{(n!)^{2}}}{\frac {1}{(1-2n)(-4)^{n}}}}\right]^{2}h^{n}\\&=\pi (a+b)\left[1+{\dfrac {h}{4}}+{\dfrac {h^{2}}{64}}+{\dfrac {h^{3}}{256}}+{\dfrac {25h^{4}}{16384}}+{\dfrac {49h^{5}}{65536}}+\cdots \right]\end{aligned}}}$

Cette série a meilleure convergence que celle de Maclaurin sur la totalité de la plage des excentricités mais l'erreur relative pour les ellipses aplaties laisse encore à désirer^[23].

On peut également citer la série d'Euler^[15] de 1773, développement symétrique en a et b s'exprimant à l'aide de la quantité ${\displaystyle d=\left({a^{2}-b^{2} \over a^{2}+b^{2}}\right)^{2}}$.

${\displaystyle L=\pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})}}\cdot {}_{2}{\rm {F}}_{1}\left(-{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{4}};1;d\right)}$

Cette série converge légèrement plus vite que la série de Maclaurin mais moins vite que celle de Gauss-Kummer^[24].

Pour les ellipses à forte excentricité, la série d’Arthur Cayley (établie en 1876)^[25] offre une meilleure convergence et s'exprime à l'aide de la quantité ${\displaystyle x=1-e^{2}=\left({b \over a}\right)^{2}}$ par :

${\displaystyle L=4a\left(1+\sum _{n=1}^{+\infty }{x^{n} \over 2}\left[{(2n)! \over (2^{n}n!)^{2}}\right]^{2}{2n \over 2n-1}\left[\ln \left({16 \over x}\right)-\left(\sum _{k=1}^{n}{4 \over (2k-1)2k}\right)+{2 \over (2n-1)2n}\right]\right)}$

qui se développe en :

${\displaystyle {\begin{aligned}{L \over 4a}-1&={\frac {x}{4}}\left[\ln \left({\frac {16}{x}}\right)-1\right]+{\frac {3x^{2}}{32}}\left[\ln \left({\frac {16}{x}}\right)-{\frac {13}{6}}\right]+{15x^{3} \over 256}\left[\ln \left({16 \over x}\right)-{\frac {12}{5}}\right]+{175x^{4} \over 4096}\left[\ln \left({16 \over x}\right)-{\frac {1051}{420}}\right]+\cdots \\&\ +{x^{n} \over 2}{1^{2} \over 2^{2}}{3^{2} \over 4^{2}}\cdots {(2n-3)^{2} \over (2n-2)^{2}}{(2n-1) \over 2n}\left[\ln \left({16 \over x}\right)-{4 \over 1\times 2}-{4 \over 3\times 4}-\cdots -{4 \over (2n-3)(2n-2)}-{2 \over (2n-1)(2n)}\right]+\cdots \end{aligned}}}$

Cette série exacte converge pour toute la plage des excentricités, mais n’a une convergence excellente et bien plus rapide que les séries de Maclaurin et de Gauss-Kummer que pour les excentricités élevées, où elle est également stable numériquement. Dans les évaluations numériques rapides, on peut donc associer cette série de Cayley à la série de Gauss-Kummer plus simple à calculer et convergeant plus rapidement pour les excentricités faibles et modérées, en fixant arbitrairement la coupure entre les deux méthodes à une valeur d’excentricité voisine de 96 % (qui correspond aussi à un rapport d’aspect b/a voisin de 28 % ou une valeur de x voisine de 7,84 %)^[25].

Valeurs approchées

Une première approximation très simple est présentée par Kepler en 1609^[18] et consiste à approcher la circonférence de l'ellipse par la circonférence de deux cercles dont les rayons sont respectivement la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique des quantités a et b :

${\displaystyle 2\pi {\sqrt {ab}}\leq L\quad \mathrm {et} \quad L\approx \pi (a+b)}$

Une seconde approximation date de 1750 et provient de Giulio Carlo Fagnano^[19]:

${\displaystyle L\approx \pi \left({\frac {3}{2}}(a+b)-{\sqrt {ab}}\right)}$

Euler, quant à lui, propose^[26] une approximation par excès d'une précision équivalente à celle par défaut obtenue en prenant la moyenne des deux demi-axes :

${\displaystyle L\approx \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})}}}$

On trouve également, dans des formulaires, cette approximation quadratique^[21], moyenne quadratique des approximations de Kepler et d'Euler :

${\displaystyle L\approx \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-{\frac {1}{2}}(a-b)^{2}}}}$

En exprimant b en fonction de e et en développant en série

${\displaystyle {\begin{matrix}L\approx 2\pi a{\sqrt {{\frac {3}{4}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {1-e^{2}}}-{\frac {3}{8}}e^{2}}}=2\pi a\left[1-{\frac {1}{4}}e^{2}-{\frac {3}{64}}e^{4}-{\frac {5}{256}}e^{6}-{\frac {89}{8192}}e^{8}-{\frac {231}{32768}}e^{10}\cdots \right]\end{matrix}}}$

on obtient un développement dont les 4 premiers termes correspondent à la série de Maclaurin^[27] ; l'erreur commise par les coefficients incorrects des termes de degré supérieur est alors très faible.

À partir du XIX^e siècle les formules d'approximations se multiplient ^[28] , chacun cherchant à trouver des formules simples ayant le maximum de précision. Une mention doit être faite pour les deux formules de Srinivasa Ramanujan de 1914

Première formule de Srinivasa Ramanujan^[29]:

${\displaystyle L\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]=\pi (a+b)\left[3-{\sqrt {4-h}}\right]}$,

où ${\displaystyle h=\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}$.

Deuxième formule de Srinivasa Ramanujan^[30] :

${\displaystyle L\approx \pi \left(a+b\right)\left[1+{3h \over 10+{\sqrt {4-3h}}}\right]}$

Ces dernières formules sont très précises pour des excentricités modérées^[31]. En revanche pour b = 0, la deuxième formule de Ramanujan conduit à une approximation de π de 22/7^[32].

Bibliographie et sources

• Patrice Tauvel, Géométrie : Agrégation-2^e cycle/master, Dunod, 2005
• Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009, (ISBN 978-2-91-635208-4)
• Méthodes modernes en géométrie de Jean Fresnel
• Bruno Ingrao, Coniques affines, euclidiennes et projectives, C&M, (ISBN 978-2-916352-12-1)
• (en) Gert Almkvist et Bruce Berndt, « Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, Pi and the Ladies Diary », Amer. Math. Monthly, vol. 95, n^o 1,‎ août-septembre 1988 (lire en ligne)
• (en) Gerard P. Michon, Perimeter of an Ellipse - Final Answers, sur Numericana.com

Articles connexes

• Coniques
  • Hyperbole
  • Parabole
• Régression elliptique
• Transformée de Hough > Détection d'ellipses
• Ovale
• Théorème de Marden
• Ellipsographe
• Ellipsoïde

Liens externes

• Bernard Gisin, « Propriétés de l'ellipse avec démonstrations » [PDF], août 2006
• Sections d'un cône et théorème de Dandelin
• Robert Ferréol, Jacques Mandonnet et Alain Esculier, « Ellipse », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables, 2012
• (en) Eric W. Weisstein, « Ellipse », sur MathWorld