Polygones

Un rectangle de largeur a et de longueur b.

Le cas des polygones est fondamental, non seulement par sa simplicité, mais aussi parce que de nombreux périmètres sont calculés, en valeur approchée, par une suite de polygones tendant vers ces courbes. Le premier mathématicien connu pour avoir utilisé ce raisonnement fut Archimède qui approcha le périmètre d'un cercle en l'encadrant par celui de polygones réguliers^[4].

Le périmètre d'un polygone est égal à la somme des longueurs de ses côtés.

En particulier, un rectangle de dimensions a et b a pour périmètre 2(a + b). Un polygone équilatéral est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur (un losange est un polygone équilatéral à quatre côtés). Pour calculer le périmètre d'un polygone équilatéral, il suffit de multiplier cette longueur par le nombre de côtés.

Un polygone régulier est souvent défini par son nombre de côtés et son rayon, c'est-à-dire la distance constante qui sépare son centre de chacun des sommets. Il est possible de calculer la longueur du côté par un raisonnement de trigonométrie. Si R est le rayon d'un polygone régulier et n le nombre de ses côtés, son périmètre est^[5] :

${\displaystyle 2nR\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$.

Ces méthodes sont résumées dans le tableau ci-dessous.

Périmètre de polygones

Polygone	Formule	Variables
Triangle	${\displaystyle a+b+c\;}$	a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle.
Parallélogramme	${\displaystyle 2(a+b)\;}$	a et b sont les longueurs de deux côtés consécutifs.
Polygone équilatéral	${\displaystyle n\cdot a\;}$	n est le nombre de côtés et a la longueur de chaque côté.
Polygone quelconque	${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$	où ${\displaystyle a_{i}}$ est la longueur du ${\displaystyle i}$e (1er, 2e, 3e… ne) côté d'un polygone à n côtés.
Polygone régulier convexe	${\displaystyle 2nR\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$	n est le nombre de côtés et R la distance entre le centre du polygone régulier et chacun des sommets.

Périmètre d'un cercle

Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est π.

Le périmètre d'un cercle est la longueur développée de son contour. Il est proportionnel à son diamètre^[6]. C'est-à-dire qu'il existe une constante π (le p grec de périmètre) telle que, quel que soit un cercle de diamètre D et de périmètre P,

P = π D.

L'usage du compas ayant favorisé l'utilisation du rayon R du cercle plutôt que de son diamètre, cette formule devient :

P = 2 π R.

Ces deux formules sont parfaitement équivalentes puisque, pour tout cercle, D = 2 R.

Il suffit, pour calculer le périmètre d'un cercle, de connaître son rayon ou son diamètre et le nombre π. Le problème est que ce nombre n'est pas rationnel (on ne peut pas l'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers) ni même algébrique (il n'est pas la racine d'un polynôme à coefficients entiers). Obtenir une valeur approchée de π aussi précise qu'on le souhaite n'est donc pas évident. La recherche des décimales de π mobilise des connaissances en analyse, algorithmique et informatique.

Le périmètre d'un cercle est souvent appelé par extension circonférence même si la circonférence désigne une courbe et non une mesure de longueur. L'usage du terme longueur du cercle est ambigu et doit être évité car cette notion peut tout aussi bien recouvrir la distance entre deux points opposés (le diamètre) que la longueur développée du contour du cercle (le périmètre).

Un exemple : l'ellipse

Une ellipse.

L'ellipse peut paraître simple : il ne s'agit après tout que d'un « cercle écrasé ».

Soit une ellipse de demi-grand axe a et de demi-petit axe b.

L'aire est aisée à calculer^[13] : ${\displaystyle \pi ab}$.

Mais le périmètre P de l'ellipse ne peut être obtenu qu'à l'aide d'une intégrale elliptique^[14] :

${\displaystyle P=4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}t+b^{2}\sin ^{2}t}}\,{\text{d}}t}$

qui s'exprime sous forme de série, en notant e l'excentricité de l'ellipse (formule de J.H. Lambert (1772)) :

${\displaystyle P=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}e^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{e^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{e^{6} \over 5}-\cdots }\right]}$ où ${\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.}$

La difficulté de ces calculs a conduit à développer des approximations. La deuxième proposée, plus précise, est l'œuvre de Ramanujan^[14] :

${\displaystyle P\approx \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})}}\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]}$

Courbe rectifiable

Le problème du calcul d'un périmètre est plus ardu si la frontière est courbe et non plus polygonale.

Il est toujours possible d'approcher la longueur d'une courbe par celle d'un polygone d'approximation. La longueur du polygone d'approximation est la somme des longueurs de ses côtés. Lorsque le pas, c'est-à-dire la longueur maximale entre deux sommets consécutifs du polygone, tend vers zéro, la limite supérieure de la longueur du polygone tend vers la longueur de la courbe. Si la longueur de la courbe est finie, celle-ci est dite rectifiable. Ce raisonnement permet de calculer des valeurs approchées de nombreuses courbes.

Une valeur exacte est possible lorsque la courbe est paramétrée par une fonction continûment dérivable. Alors la courbe est rectifiable. Si la courbe est un arc paramétré par une fonction f définie sur un intervalle [c;d], alors sa longueur est :

${\displaystyle L=\int _{c}^{d}||f'(t)||\mathrm {d} t.}$

En particulier, si f(t) = (x(t) ; y(t)) et si les coordonnées s'expriment dans une base orthonormale, la longueur L de la courbe est donnée par :

${\displaystyle L=\int _{c}^{d}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t.}$

Cette formule permet d'établir celle donnée plus haut, pour le périmètre de l'ellipse ( x(t)=a cos t, y(t)=b sin t, I=]0,  π/4[ ).

Il est également possible d'utiliser les coordonnées polaires (θ, r(θ)) où r est une fonction continûment dérivable de θ définie sur un intervalle [θ₁;θ₂]. Dans ce cas :

${\displaystyle L=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\sqrt {r(\theta )^{2}+r'(\theta )^{2}}}\mathrm {d} \theta .}$

Un exemple : Le flocon de von Koch

Le flocon de Koch est construit par une suite de polygones à la fois très simple et aux propriétés étonnantes.

1. On part d'un triangle équilatéral.
2. On partage chaque côté de la figure en trois segments de même longueur. On construit, sur chaque segment central et à l'extérieur de la figure précédente, un triangle équilatéral.
3. On répète le procédé de l'étape 2 indéfiniment.

À chaque itération, le polygone obtenu possède un périmètre égal à ⁴⁄₃ de celui du précédent, la suite des périmètres obtenus tend vers l'infini. Pourtant, tous ces polygones sont inclus dans le cercle circonscrit au premier triangle, et ont une aire finie.

Fractales et dimension de Hausdorff

Si plusieurs surfaces ont des périmètres infinis, il est toutefois possible que certaines aient un « plus long périmètre » que d'autres^[15]. La dimension de Hausdorff introduite en 1918, permet de les comparer en étendant encore la notion de longueur, et donc celle de périmètre.

Aire et périmètre

Des plans tracés sur des tablettes d'argile et datant d'Ur III (fin du III^e millénaire av. J.-C.) comportent des mentions de longueurs de terrains, qui sont découpés en triangles et quadrilatères afin de faciliter les calculs. Mais les aires de polygones, notamment les surfaces des champs, étaient calculées à partir des périmètres, même si certains scribes semblent s'être rendu compte que ces raisonnements pouvaient être faux^[16]. Cette façon de mesurer des villes ou des régions par leur périmètre est utilisée par Homère pour Troie^[1] ou encore par Hérodote :

« aussi donnait-on autrefois le nom d'Égypte à la Thébaïde, dont la circonférence est de six mille cent vingt stades^[17]. »

Dès 1800 av. J.-C., les problèmes de géométrie au sujet de périmètres sont attestés. Un problème classique trouvé sur de nombreuses tablettes consistait à trouver les dimensions d'un rectangle, connaissant son aire et son périmètre^[18] :

La légende^[19] veut que Didon, vers 800 av. J.-C., cherchant une terre pour fonder une nouvelle cité pour son peuple, obtint d'un roi qu'il lui en cède « autant qu'il en pourrait tenir dans la peau d'un bœuf ». Didon découpa une peau de bœuf en très fines lanières et choisit une péninsule : avec les lanières, elle sépara la péninsule du continent et put ainsi délimiter un vaste terrain. Carthage était née. La légende de Didon peut avoir une origine didactique, car elle montre qu'aire et périmètre ne sont pas liés, elle est également une première approche du problème d'isopérimétrie^[1].

La fondation de Rome est également une question de périmètre : Romulus trace, avec sa charrue, le périmètre circulaire de sa future ville. Le mot latin Urbs (la Ville, qui désigne Rome et a donné en français les mots urbain, urbaniser) serait une déformation d'une expression signifiant « tracer le périmètre ». Une racine indo-européenne signifiant pourtour, périmètre, clôture en serait à l'origine^[20].

Le problème de l'isopérimétrie est très ancien, comme l'atteste la légende de Didon, et ses différentes réponses (polygone régulier, demi-disque dans un demi-plan, cercle) étaient connues dès l'antiquité grecque^[21], bien qu'il ait fallu attendre le XIX^e siècle pour qu'une démonstration rigoureuse soit élaborée.

Périmètre du cercle

Les Babyloniens liaient l'aire A et le périmètre P d'un cercle suivant un algorithme de calcul équivalent à la formule ${\displaystyle A={\frac {P^{2}}{12}}}$ ce qui donne une approximation^[22] de π égale à 3. Même lorsqu'ils connaissaient le diamètre d'un cercle, les scribes passaient toujours par le calcul de son périmètre (en multipliant le diamètre par 3) pour ensuite obtenir son aire. La dimension usuelle pour un cercle était toujours son périmètre, jamais son diamètre ni son rayon. Cela montre que, pour les anciens, un cercle était plutôt vu comme une circonférence plutôt que comme une courbe définie par un centre et un rayon^[23]. La procédure pour calculer l'aire d'un disque à partir de son diamètre était la suivante^[24], utilisée, dans cet exemple, pour déterminer le volume d'une bûche cylindrique dont le diamètre était 1 + ²⁄₃ :

L'approximation de π par 3 est également utilisée dans la Bible^[25] :

« Il fit la mer de fonte. Elle avait dix coudées d’un bord à l’autre, une forme entièrement ronde, cinq coudées de hauteur, et une circonférence que mesurait un cordon de trente coudées^[26]. »

et le Talmud^[25] :

« Ce qui a trois palmes de tour est large d'une palme. »

Encadrement de cercles par des polygones réguliers. Archimède, pour ses calculs, utilisa des polygones réguliers à 6, 12, 24, 48 et 96 côtés.

Archimède énonça^[6] et démontra, dans son traité De la mesure du cercle :

Ce qui donne un encadrement de π (qui est le quotient du périmètre de tout cercle par son diamètre). Pour parvenir à ce résultat, Archimède encadra le cercle par deux polygones réguliers dont il calcula les périmètres. Son résultat utilise des polygones réguliers à 96 côtés.

En 1424, Al-Kachi, dans son Traité sur le cercle, calcule une valeur approchée de π en encadrant le cercle entre deux polygones réguliers à 805 306 368 côtés avec seize décimales exactes. Son objectif était de déterminer une valeur approchée de π suffisamment précise pour pouvoir calculer non seulement la circonférence de la Terre, mais aussi celle de l'Univers^[27]. Son traité commence ainsi^[28] :

« Louange à Allah, qui connaît le rapport du diamètre à la circonférence [...] et paix à Mahomet, l'Élu, qui est le centre du cercle des prophètes. »

La méthode d'Archimède a été reprise^[29] en 1579 par François Viète et en 1593 par Adrien Romain pour calculer de douze à quinze décimales de π.

D'autres mathématiciens ont calculé des valeurs approchées de π en utilisant des calculs d'aires puis, à partir du XVII^e siècle, les techniques du calcul infinitésimal.

Longueur développée d'une courbe

La question du calcul de la longueur développée d'une courbe prend, au XVII^e siècle le nom de rectification d'une courbe^[30]. Elle est en général considérée comme impossible à résoudre, ce que Descartes exprime par : « la proportion qui est entre les droites et les courbes n'étant pas connue, et même je crois ne le pouvant être par les hommes^[31] ».

Au XVII^e siècle, l'invention du calcul infinitésimal a conduit à interpréter le calcul de la longueur développée d'une courbe comme celui d'une intégrale^[32] suivant la formule vue plus haut (voir l'exemple de l'ellipse).

Au XIX^e siècle, Camille Jordan donne une nouvelle définition de la longueur développée d'une courbe^[33], se rapprochant de celle d'Archimède mais utilisant les outils modernes (dont le calcul de la limite d'une suite) : il approche la courbe par un polygone dont les sommets sont des points de cette courbe. Lorsque le nombre de ces points tend vers l'infini, la limite supérieure de la suite des longueurs des polygones obtenus, si elle est majorée, est la longueur développée de cette courbe. Cette définition de courbe rectifiable englobe et étend la précédente qui utilisait une intégrale.

La côte bretonne.

Durant les XIX^e et XX^e siècles, des mathématiciens découvrent de nombreuses courbes « bizarres » comme celle de von Koch, qui ne sont pas rectifiables^[34]. À partir de 1967, Benoît Mandelbrot^[15] définit et étudie les fractales à partir d'une question apparemment très simple :

Mandelbrot explique que plus on cherchera à préciser la mesure, plus celle-ci sera grande, jusqu'à éventuellement devenir infinie^[15]. En effet, si on mesure grossièrement le périmètre de la Bretagne (ou de tout pays) sur une carte, on va obtenir un polygone. Mais plus la carte sera précise, plus le polygone sera découpé et donc son périmètre grandira. Si l'on veut le « vrai » périmètre de la Bretagne, il faudra aller sur place mesurer chaque caillou, chaque escarpement de rocher, voire chaque atome de ces composants. L'étude de ces objets dépasse le cadre du calcul de périmètres.

Bibliographie

Livres

• Otto Neugebauer, Les sciences exactes dans l'Antiquité, Actes Sud, 1992 (ISBN 978-2-86869-300-6).
• Benoît Mandelbrot, Les objets fractals, 4e édition, Flammarion, 1995, 212 p. (ISBN 978-2-08-081301-5, présentation en ligne).
• Henri Poincaré, Science et méthode, Flammarion, 1908 (lire en ligne).
• A. Amiot, Éléments de géométrie : rédigés d'après le nouveau programme de l'enseignement scientifique des lycées ; suivis d'un Complément à l'usage des élèves de mathématiques spéciales, Paris, C. Delagrave et Cie, 1870, 428 p. (lire en ligne).
• Anne Chevalier, Collectif, Ginette Cuisinier, Danielle Degen, Christine Docq, Mariza Krysinska, Christiane Hauchart, Référentiel de mathématiques : de 12 à 16 ans, De Boeck Education, 2002, 448 p. (ISBN 978-2-8041-4052-6).
• (en) Lennart Berggren, Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein, Pi, a source book, New York, Springer, 2004, 797 p. (ISBN 0-387-20571-3).
• (en) Eleanor Robson, Mathematics in Ancient Iraq: A Social History, Princeton University Press, 2008, 442 p. (ISBN 9780691091822).

Article

• Groupe national de réflexion sur l’enseignement des mathématiques en dispositifs relais, « Aire et Périmètre ».

Notes et références