Fonctions rationnelles

Toute fonction polynomiale à coefficients complexes est entière.

Toute fonction rationnelle à coefficients complexes est holomorphe sur le complémentaire de l'ensemble de ses pôles (c'est-à-dire les zéros de son dénominateur, quand elle est écrite sous forme irréductible). Par exemple, la fonction inverse z ↦ 1/z est holomorphe sur ℂ*.

Fonctions définies par une série entière

Soit ∑ _n≥0 a_n zⁿ une série entière à coefficients complexes de rayon de convergence non nul (fini ou non) ; on note D son disque de convergence.
La fonction f de D dans ℂ définie par f(z) = ∑ _n≥0 a_n zⁿ est holomorphe, et pour tout z ∈ D, f’(z) = ∑_n≥1 na_n z^n–1.
En fait, cette fonction est indéfiniment dérivable sur D.

La fonction exponentielle est entière. Il en est de même des fonctions trigonométriques (qui peuvent être définies à partir de la fonction exponentielle au moyen des formules d'Euler) et des fonctions hyperboliques.

Logarithme complexe

Représentation de la fonction logarithme complexe par coloration de régions.

On appelle détermination du logarithme complexe sur un ouvert U de ℂ* toute fonction holomorphe L de U dans ℂ telle que pour tout z ∈ U, exp(L(z)) = z ou ce qui est équivalent (dans le cas d'un ouvert connexe), toute fonction L holomorphe sur U de dérivée z↦1/z et pour laquelle il existe z₀ ∈ U tel que exp(L(z₀)) = z₀.

Sur tout ouvert U de ℂ* où existe une détermination L du logarithme, on peut définir, pour tout entier relatif k, la fonction z ↦ L(z) + 2kπi. Chacune de ces fonctions est une détermination du logarithme sur U, et si U est connexe, ce sont les seules.

Il n'existe pas de détermination du logarithme sur l'ouvert ℂ*.

Il existe une détermination du logarithme sur n'importe quel ouvert du type ℂ*\D où D est une demi-droite de ℂ d'extrémité 0 (on parle de « coupure »), en particulier sur l'ensemble des nombres complexes privé de la demi-droite des réels négatifs ou nuls. Parmi toutes les déterminations du logarithme sur cet ouvert, il en existe une et une seule qui prolonge le logarithme népérien réel.

Plus généralement, il existe une détermination du logarithme sur tout ouvert simplement connexe ne contenant pas 0.

Fonctions puissance et racine n-ième

Sur tout ouvert U de ℂ* où existe une détermination L du logarithme, on peut définir, pour tout nombre complexe a, une détermination holomorphe sur U de la puissance d'exposant a en posant, pour tout z ∈ U, z^a = exp(a L(z)).

En particulier, pour tout entier n > 0, la fonction z ↦ z^1/n = exp((1/n) L(z)) vérifie l'identité ∀z ∈ U, (z^1/n)ⁿ = z. On dit que cette fonction est une détermination sur U de la racine n-ième. On peut noter ⁿ√z au lieu de z^1/n (si des réels strictement positifs appartiennent à U, il se peut qu'il y ait alors conflit entre cette notation et sa signification habituelle, servant à désigner la racine n-ième positive).

Les fonctions trigonométriques réciproques ont de la même manière des coupures et sont holomorphes partout sauf aux coupures.

Équations de Cauchy-Riemann

Si l'on identifie ℂ à ℝ², alors les fonctions holomorphes sur un ouvert de ℂ coïncident avec les fonctions de deux variables réelles qui sont ℝ-différentiables sur cet ouvert et y vérifient les équations de Cauchy-Riemann, un système de deux équations aux dérivées partielles :

On considère une fonction ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ d'une variable complexe, où U est un ouvert du plan complexe ℂ. On utilise ici les notations suivantes :

• la variable complexe ${\displaystyle z}$ est notée ${\displaystyle x+{\rm {i}}\,y}$, où x, y sont réels ;
• les parties réelle et imaginaire de ${\displaystyle f(z)=f(x+{\rm {i}}\,y)}$ sont notées respectivement ${\displaystyle P(x,y)}$ et ${\displaystyle Q(x,y)}$, c'est-à-dire : ${\displaystyle f(z)=P(x,y)+{\rm {i}}\,Q(x,y)}$, où ${\displaystyle P,\,Q}$ sont deux fonctions réelles de deux variables réelles.

Remarque, lorsque f est holomorphe en z₀ :

${\displaystyle \ f'(z_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=-{\rm {i}}\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})}$

${\displaystyle f'(z_{0})=\partial f(z_{0})}$, où l'opérateur différentiel ${\displaystyle \partial }$ est, par définition, égal à ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-{\rm {i}}{\frac {\partial }{\partial y}}\right)}$.

Liens entre fonctions holomorphes et fonctions harmoniques

On montre plus loin que les fonctions holomorphes sont de classe ${\displaystyle C^{\infty }}$ (voir formule intégrale de Cauchy).

Une conséquence des équations de Cauchy-Riemann est que les laplaciens de la partie réelle et de la partie imaginaire d'une fonction holomorphe f sont nuls :

Si les parties réelle et imaginaire de ${\displaystyle f(z)=f(x+{\rm {i}}\,y)}$ sont notées respectivement ${\displaystyle P(x,y)}$ et ${\displaystyle Q(x,y)}$, c'est-à-dire si : ${\displaystyle f(z)=P(x,y)+{\rm {i}}\,Q(x,y)}$, où ${\displaystyle P,\,Q}$ sont deux fonctions réelles de deux variables réelles, on a :

${\displaystyle \ \Delta P=\Delta Q=0}$

On dit que ${\displaystyle P}$ et ${\displaystyle Q}$ sont des fonctions harmoniques.

On a également :

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial x}}{\frac {\partial Q}{\partial x}}+{\frac {\partial P}{\partial y}}{\frac {\partial Q}{\partial y}}=0}$

${\displaystyle P}$ et ${\displaystyle Q}$ sont dites harmoniques conjuguées.

On a une réciproque :
toute fonction harmonique réelle de la variable complexe est localement la partie réelle d'une fonction holomorphe.

Théorème intégral de Cauchy

Les équations de Cauchy-Riemann permettent de démontrer le lemme de Goursat, qui est essentiellement le théorème intégral de Cauchy ci-dessous dans le cas particulier d'un lacet polygonal, et d'en déduire :

Théorème intégral de Cauchy — Soient γ un lacet rectifiable dans ℂ et f une fonction holomorphe sur un ouvert simplement connexe contenant γ, alors l'intégrale curviligne de f sur γ est nulle :

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)~\mathrm {d} z=0.}$

Ce théorème reste valable si, en un nombre fini de points de l'ouvert, la fonction n'est pas supposée holomorphe^[3] mais seulement continue.

En particulier :

• si γ est un lacet simple alors, d'après le théorème de Jordan-Schoenflies, il est la frontière d'un compact K connexe et simplement connexe, et le théorème s'applique alors (si γ est rectifiable) à toute fonction holomorphe sur un ouvert contenant K ;
• si f est holomorphe sur un ouvert U et si γ et Γ sont deux chemins rectifiables strictement homotopes dans U alors les intégrales de f sur γ et Γ sont égales.

On peut éviter le recours au lemme de Goursat, mais^[4] au prix d'une hypothèse supplémentaire :

Démonstration directe sous l'hypothèse supplémentaire que f est de classe C¹ par morceaux^[3]

Comme dans la preuve utilisant le lemme de Goursat, on se ramène (par approximation puis découpage) au cas où le lacet γ est un polygone simple. Le théorème de Green, joint aux équations de Cauchy-Riemann, permet alors de conclure : si D désigne l'intérieur de ce polygone,

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)~\mathrm {d} z=\int _{\gamma }(f\mathrm {d} x+if\mathrm {d} y)=\iint _{D}\left({\frac {\partial if}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)~\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\iint _{D}0~\mathrm {d} x\mathrm {d} y=0.}$

Ce théorème est généralisé par le théorème des résidus aux fonctions holomorphes possédant des singularités isolées.

Primitive d'une fonction holomorphe

Du théorème ci-dessus on déduit :

Propriété — Soient f une fonction holomorphe sur un ouvert U connexe et simplement connexe, z₀ un point de U et F la fonction définie sur U par${\displaystyle F(z)=\int _{P(z)}f(\xi )~\mathrm {d} \xi ,}$où P(z) est n'importe quel chemin rectifiable dans U de z₀ à z. Alors F est une primitive complexe de f sur U.

Ce théorème reste valable si, en un nombre fini de points de l'ouvert, la fonction n'est pas supposée holomorphe^[3] mais seulement continue.

Il est important que l'ouvert soit simplement connexe, ainsi l'intégrale de f entre deux points ne dépend pas du chemin entre ces deux points.

Par exemple, la fonction h : z ↦ 1/z est holomorphe sur ℂ*, qui est connexe mais pas simplement connexe. L'intégrale de h sur le cercle de centre 0 et de rayon 1 (parcouru dans le sens trigonométrique), vaut 2πi, mais vaut 0 sur un chemin fermé joignant 1 à lui-même en n'entourant pas 0. On peut en revanche définir une primitive de h sur n'importe quel ouvert simplement connexe de ℂ* (cf déterminations du logarithme complexe dans la section « Exemples » ci-dessus).

Formule intégrale

Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert U de ℂ, alors si C est un cercle orienté positivement, centré en z et inclus (ainsi que son intérieur) dans U.

${\displaystyle f(z)={1 \over 2\pi {\rm {i}}}\int _{C}{f(\xi ) \over \xi -z}~\mathrm {d} \xi .}$

Représentation en série entière

Théorème — Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert U de ℂ, alors f est analytique sur U et pour tout point z₀ de U, en notant R la distance (euclidienne) de z₀ à ℂ\U :

${\displaystyle \forall z\in D(z_{0},R),~~f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}$

avec

${\displaystyle \forall r\in ]0,R[,\quad c_{n}={\frac {1}{2\pi {\rm {i}}}}\int _{C(z_{0},r)}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}~\mathrm {d} w.}$

Par conséquent, f est indéfiniment dérivable sur U, avec

${\displaystyle \forall z_{0}\in U,f^{(n)}(z_{0})=c_{n}n!={\frac {n!}{2\pi {\rm {i}}}}\int _{C(z_{0},r)}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}~\mathrm {d} w.}$

Remarques :

• La série de Taylor en z₀ converge sur tout disque ouvert de centre z₀ et inclus dans U mais peut bien sûr converger sur un disque plus grand ; par exemple, la série de Taylor de la détermination principale du logarithme converge sur tout disque ne contenant pas 0, même s'il contient des réels négatifs. C'est la base du principe du prolongement analytique.
• Il y a équivalence entre holomorphie sur un ouvert et analyticité, l'analyticité impliquant clairement l'holomorphie.
• Toute fonction holomorphe f est une fonction analytique, donc le principe du maximum, le principe des zéros isolés, l'inégalité de Cauchy sont vérifiés par une fonction holomorphe.

Propriété de la moyenne

De la formule intégrale de Cauchy, on déduit notamment que toute fonction holomorphe sur un ouvert contenant un disque fermé est complètement déterminée à l'intérieur de ce disque par ses valeurs sur la frontière de celui-ci : dans la formule ci-dessus pour c₀, le changement de paramètre w = z₀ + re^iθ donne :

${\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z_{0}+r{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta })~\mathrm {d} \theta .}$

• L'intérêt de cette formule est dans le calcul numérique. Le calcul d'une intégrale est en effet plus stable que celui de dérivées.
• Ce résultat reste clairement valable pour la partie réelle et pour la partie imaginaire de f, qui sont des fonctions harmoniques.

Principe du maximum

Soit f une fonction holomorphe non constante sur un ouvert connexe U. Alors |f | n'admet pas de maximum local sur U. Ainsi, si U est borné et que f est aussi définie sur l’adhérence de U, le maximum de la fonction f sur U est atteint sur la frontière de U. En d'autres termes, en tout point z de U :

${\displaystyle |f(z)|\leq \sup\{|f(\omega )|\mid \omega \in \partial U\}}$

Démonstration^[5]

Soit z₀ un point de U. La fonction f – f(z₀) n'est pas identiquement nulle donc, par unicité du prolongement analytique, il existe un entier k > 0 et un complexe α non nul tels que

${\displaystyle f(z)=f(z_{0})+\alpha (z-z_{0})^{k}+(z-z_{0})^{k}\varepsilon (z),}$

où ε est une fonction de limite nulle en z₀.

• Si f(z₀) = 0 alors, au voisinage de z₀, f ne s'annule pas.
• Si f(z₀) ≠ 0, soit β une racine k-ième de f(z₀)/α. Alors,${\displaystyle f(z_{0}+t\beta )=f(z_{0})\left(1+t^{k}+t^{k}\varepsilon _{1}(t)\right),}$où ε₁ est une fonction de limite nulle en 0, donc pour tout réel t > 0 assez petit, | f(z₀+tβ) | > | f(z₀) |.

Ainsi, dans les deux cas, | f | n'admet pas de maximum local en z₀.

Suites convergentes de fonctions holomorphes

Si une suite (f_j) de fonctions holomorphes converge vers une fonction f, uniformément sur tout compact de l'ouvert U de ℂ, alors f est holomorphe et pour tout k, la suite (f_j^(k)) des dérivées converge vers f^(k), uniformément sur tout compact de U^[6].

Articles connexes

• Théorème de Morera
• Lemme de Borel-Carathéodory

Lien externe

graphes-fonctions-holomorphes - Balades mathématiques parmi les fonctions holomorphes, avec images à l'appui.