Axiomes d'incidence

Axiome I1^[5]: Il existe au moins une droite et un point n’appartenant pas à cette droite.

Axiome I2^[5]: A toute droite appartiennent au moins trois points.

Axiome I3^[5]: Étant donné deux points distincts, il existe une droite et une seule à laquelle ces deux points appartiennent.

Axiome I4^[5]: Si A B C et D sont quatre points distincts tels que les droites AB et CD contiennent un point commun, alors les droites AC et BD contiennent un point commun.

Définition: étant donné trois points A B et C non alignés, on appelle plan ABC, l’ensemble des points appartenant à une droite contenant le point C et contenant un point commun avec la droite AB.

Axiome I5^[5]: Pour tout plan ABC, il existe au moins un point n’appartenant pas au plan ABC.

Axiome I6^[5]: Deux plans distincts quelconques contiennent au moins deux points distincts communs.

Axiomes d'ordre

Définition: On regroupe sous l’appellation forme de première espèce: - un ensemble de tous les points appartenant à une même droite, ensemble appelé droite ponctuelle, - un ensemble de tous les plans contenant une même droite, ensemble appelé faisceau de plans, - un ensemble de toutes les droites appartenant à un même plan et passant par un même point de ce plan, ensemble appelé faisceau de droites.

Axiome O1^[6]: Sur toute forme de première espèce il existe deux relations ternaires inverses, telles que, quels que soient les éléments A B et C, le triplet (A,B,C) vérifie une et une seule de ces deux relations, dite ordre ABC.

Axiome O2: quels que soient les trois éléments A, B, et C de la forme, l’ordre ABC est une relation d’ordre cyclique, c’est-à-dire vérifiant les conditions suivantes :

${\displaystyle R(A,B,C)\Rightarrow R(C,A,B)}$

${\displaystyle R(A,B,C)\Rightarrow {\text{non}}\;R(A,C,B)}$

${\displaystyle R(A,B,C)\;{\text{et}}\;R(A,C,D)\Rightarrow R(B,C,D)}$

Axiome O3: Quels que soient les éléments A et B d’une forme de première espèce, il existe au moins un élément C de la forme tel que R(A,C,B).

Définitions:

On dit que les paires d’éléments AB et CD d’une forme de première espèce sont des paires séparées si les ordres ABC et ADB sont les mêmes.

On appelle section d’un faisceau de droites de sommet O par une droite la correspondance qui associe à toute droite du faisceau son intersection avec la droite. La correspondance réciproque entre la droite ponctuelle et le faisceau est appelée projection de la droite ponctuelle à partir du point O.

On appelle section d’un faisceau de plans d’arête D par une droite la correspondance qui associe à tout plan du faisceau son intersection avec la droite. La correspondance réciproque entre la droite ponctuelle et le faisceau est appelée projection de la droite ponctuelle à partir de la droite D.

Étant donnés trois éléments A B et C, on appelle segment AB extérieur à C l’ensemble des éléments M tels que les paires AB et CM soient séparées.

Axiome O4^[7]: La projection et la section conservent les paires séparées.

Axiome de continuité

Définition: On dit qu'un élément M d'un segment AB précède un élément N de ce segment, ou que N suit M, si les paires AN et MB sont séparées.

Axiome C1^[8]: Si les éléments d’un segment AB sont répartis en deux classes telles que :

• tout élément du segment AB appartient à l’une ou l’autre des deux classes;
• l'élément A appartient à la première classe et B appartient à la seconde;
• tout élément de la première classe précède tout élément de la seconde classe;

alors il existe un élément C du segment AB (appartenant à la première ou à la deuxième classe), tel que tout élément qui précède C appartient à la première classe et tout élément qui suit C appartient à la seconde classe.

Définition vectorielle

Soit ${\displaystyle E\,\!}$ un K-espace vectoriel (K est un corps, en général ${\displaystyle \mathbb {R} \,\!}$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} \,\!}$), non réduit à ${\displaystyle \{0\}}$. On définit sur ${\displaystyle E-\{0\}\,\!}$ la relation d'équivalence suivante :

${\displaystyle x\sim y\Leftrightarrow \exists \lambda \in K^{*},x=\lambda y\,\!}$.

Alors on appelle espace projectif sur ${\displaystyle E\,\!}$ l'ensemble quotient de ${\displaystyle E-\{0\}\,\!}$ par la relation d'équivalence ${\displaystyle \sim \,\!}$ : ${\displaystyle P(E)=(E-\{0\})/\sim \,\!}$.

Pour chaque élément ${\displaystyle x\neq 0\,\!}$ de ${\displaystyle E\,\!}$ on notera ${\displaystyle \pi (x)\in P(E)\,\!}$ sa classe d'équivalence : ${\displaystyle \pi (x)=\{\lambda x,\lambda \in K^{*}\}\,\!}$. On a donc : ${\displaystyle \pi (x)=\pi (y)\,\!}$ si et seulement si ${\displaystyle x\,\!}$ et ${\displaystyle y\,\!}$ sont colinéaires.

L'application ${\displaystyle \pi :E-\{0\}\rightarrow P(E)\,\!}$ est appelée projection canonique.

Plus simplement l'espace projectif ${\displaystyle P(E)\,\!}$ est l'ensemble des droites vectorielles de ${\displaystyle E\,\!}$ ; l'élément ${\displaystyle \pi (x)\,\!}$ de l'espace projectif est la droite vectorielle de ${\displaystyle E\,\!}$ dont un vecteur directeur est ${\displaystyle x\,\!}$.

Si ${\displaystyle E\,\!}$ est de dimension finie ${\displaystyle n\,\!}$ alors on dit que ${\displaystyle P(E)\,\!}$ est de dimension finie et on note ${\displaystyle n-1=\mathrm {dim} \,P(E)\,\!}$ la dimension de l'espace projectif. En particulier :

• Si n=1 alors ${\displaystyle P(E)\,\!}$ est un singleton (dimension nulle) ;
• Si n=2 alors ${\displaystyle E\,\!}$ est un plan vectoriel et ${\displaystyle P(E)\,\!}$ est appelé droite projective.
• Si n=3 alors ${\displaystyle P(E)\,\!}$ est appelé plan projectif ; c'est le cadre le plus courant pour faire de la géométrie.

Si l'espace ${\displaystyle E\,\!}$ est l'espace vectoriel de dimension ${\displaystyle n\,\!}$ « typique », c'est-à-dire ${\displaystyle K^{n}\,\!}$ alors on a une notation particulière pour l'espace projectif : ${\displaystyle P^{n-1}(K)\,\!}$ au lieu de ${\displaystyle P(K^{n})\,\!}$.

Définition affine

Espace projeté dans un plan projectif

L'aspect formel de la définition vectorielle ne doit pas faire oublier que la notion d'espace projectif est née de la projection centrale et est, avant tout, une notion géométrique. Pour prendre l'exemple de l'espace projectif de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, on peut observer le dessin ci-contre où les points ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle r}$ appartiennent au plan affine ${\displaystyle (P')}$ (ne passant pas par l'origine). Il faut imaginer un observateur placé en ${\displaystyle O}$. Cet observateur voit tous les points de la droite ${\displaystyle (OM)}$ en ${\displaystyle m}$, ceux de la droite ${\displaystyle (OR)}$ en ${\displaystyle r}$ et ceux de la droite ${\displaystyle (ON)}$ en ${\displaystyle n}$. Les droites ${\displaystyle (d)}$ du plan ${\displaystyle (P)}$ ne sont pas vues comme des points de ${\displaystyle (P')}$. Il y a donc bijection entre les droites vectorielles de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ non parallèles à ${\displaystyle (P)}$ et les points du plan ${\displaystyle (P')}$.

L'espace projectif de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ est ainsi en bijection avec un plan affine ${\displaystyle (P')}$ ne passant pas par l'origine auquel on ajoute l'ensemble des droites vectorielles de la direction ${\displaystyle (P)}$ de ${\displaystyle (P')}$. On peut donc voir un plan projectif ${\displaystyle {\tilde {P'}}}$ comme constitué d'un plan affine ${\displaystyle (P')}$ auquel on ajoute la droite projective ayant pour éléments toutes les droites vectorielles (ou directions) de ${\displaystyle (P)}$, dite dans ce contexte droite à l'infini. Chaque point de la droite à l'infini est alors appelé point à l'infini ou point impropre (les points de ${\displaystyle (P')}$ étant les points propres). Cette notion permet, par exemple, de parler, dans un plan, d'intersection entre deux droites quelconques : les droites seront sécantes en un point propre de ${\displaystyle (P')}$ ou bien en un point impropre dans le cas où les droites sont parallèles. Dans un plan projectif, n'importe quelle droite peut être choisie comme droite à l'infini, et ce qui induit sur le complémentaire une structure de plan affine. Réciproquement tout plan affine, peut être plongé comme plan affine non vectoriel d'un espace vectoriel de dimension 3, et donc complété en un plan projectif.

Cette notion se généralise à tout espace projectif ${\displaystyle {\tilde {P}}}$ de dimension ${\displaystyle n}$ : c'est un espace affine ${\displaystyle (P)}$ de dimension ${\displaystyle n}$ auquel on adjoint l'ensemble des directions de ${\displaystyle (P)}$.

En particulier, si ${\displaystyle (P)}$ = ${\displaystyle K}$, la droite projective associée est l'ensemble ${\displaystyle {\tilde {K}}=K\cup \{\infty \}\,\!}$ où ${\displaystyle \infty }$ est un point extérieur à ${\displaystyle K\,\!}$, prolongeant les opérations algébriques de la manière suivante :

• pour tout ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle x/\infty =0}$
• pour tout ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle K^{*}}$, ${\displaystyle x/0=\infty }$

Cette double relation, d'une part avec un espace vectoriel quotienté, d'autre part avec un espace affine complété fait la richesse de l'étude de la géométrie projective. De même, ce double aspect sera important à conserver quand il s'agira de donner des coordonnées aux points de l'espace projectif.

Coordonnées homogènes

Dans un espace projectif de dimension n, donc associé à un espace vectoriel de dimension n + 1, chaque point m de ${\displaystyle P(E)}$ est associé à une famille de vecteurs de E tous colinéaires. Si E est muni d'une base canonique, on appelle coordonnées homogènes du point m, les coordonnées d'un vecteur quelconque x tel que ${\displaystyle \pi (x)=m}$. Un point possède donc une famille de coordonnées toutes proportionnelles entre elles. Autrement dit, si ${\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{n+1})}$ est un système de coordonnées homogènes de m, il en est de même de ${\displaystyle (kx_{1},kx_{2},...,kx_{n+1})\,}$ pour tout élément k non nul de K.

Parmi toutes ces coordonnées, il arrive souvent que l'on en privilégie une pour retrouver un espace affine de dimension n. Parmi tous les représentants de m, on privilégie, par exemple, celui dont la dernière coordonnée vaut 1. Cela revient à dire que l'on a projeté l'espace dans l'hyperplan d'équation ${\displaystyle x_{n+1}=1\,}$. Si ${\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{n+1})}$ est un système de coordonnées de m, on privilégie le système de coordonnées ${\displaystyle ({x_{1} \over x_{n+1}},{x_{2} \over x_{n+1}},...,{x_{n} \over x_{n+1}},1)}$. Cela ne vaut évidemment que si m est un point propre de ${\displaystyle P(E)}$.

Les points impropres sont représentés par des systèmes de coordonnées homogènes dont la dernière coordonnée est nulle.

On remarque alors bien là la correspondance entre

• les points propres de ${\displaystyle P(E)}$ et les points d'un espace affine de dimension n ;
• les points impropres de ${\displaystyle P(E)}$ et les directions d'un espace vectoriel de dimension n ;

Choisir arbitrairement de mettre une coordonnée à 1 dans les coordonnées homogènes permet de définir des cartes différentes.

Repère d'un espace projectif

Un espace vectoriel de dimension n se repère par une base de n vecteurs indépendants. Un espace affine de dimension n se repère à l'aide de n + 1 points non liés. Un espace projectif de dimension n se repère à l'aide de n+2 points. On pourrait penser que n+1 points seraient suffisants en prenant par exemple ${\displaystyle (\pi (e_{1}),\pi (e_{2}),...,\pi (e_{n+1}))\,}$ où ${\displaystyle (e_{i})_{i\in \{1;n+1\}}}$ forme une base de l'espace vectoriel de dimension n+1 associé à l'espace projectif. Les coordonnées d'un point ${\displaystyle m\,}$ dans ce repère seraient alors ${\displaystyle (x_{1},...,x_{n+1})\,}$ où ${\displaystyle (x_{1},...,x_{n+1})\,}$ sont les coordonnées de ${\displaystyle x\,}$ tels que ${\displaystyle \pi (x)=m\,}$ mais il faudrait que ces coordonnées soient indépendantes du représentant choisi pour les vecteurs de la base : ${\displaystyle \pi (e_{1})\,}$, par exemple, a un autre représentant qui est ${\displaystyle 2e_{1}\,}$. Et dans la base ${\displaystyle (2e_{1},e_{2},...,e_{n+1})\,}$ ${\displaystyle x\,}$ n'a pas le même système de coordonnées ${\displaystyle (x_{1}/2,x_{2},...,x_{n+1})\,}$.

Il faut donc empêcher cette ambiguïté et limiter le choix d'autres représentants des vecteurs de base à des vecteurs colinéaires aux précédents mais de même coefficient de colinéarité. Il suffit pour cela de définir un n+2 ième point correspondant à ${\displaystyle \pi (e_{1}+e_{2}+\cdots +e_{n+1})\,}$. Ainsi, si on choisit d'autres représentants de ${\displaystyle \pi (e_{1})...\pi (e_{n+1})\,}$ avec des coefficients de colinéarité différents, le vecteur ${\displaystyle k_{1}e_{1}+\cdots +k_{n+1}e_{n+1}\,}$ ne sera plus un représentant de ${\displaystyle \pi (e_{1}+e_{2}+\cdots +e_{n+1})\,}$.

Définition analytique d'une homographie

Soient deux espaces projectifs ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{1}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{2}}$ associés respectivement aux espaces vectoriels ${\displaystyle E_{1}}$ et ${\displaystyle E_{2}}$. On désigne par ${\displaystyle \pi _{1}}$ et ${\displaystyle \pi _{2}}$ les projections canoniques de ${\displaystyle E_{1}}$ (resp. ${\displaystyle E_{2}}$) sur ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{1}}$ (resp. ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{2}}$).

On peut alors effectuer un « passage au quotient » des applications linéaires injectives de ${\displaystyle E_{1}}$ dans ${\displaystyle E_{2}}$. Une telle application linéaire ${\displaystyle \varphi }$ étant donnée on peut définir une application ${\displaystyle h}$ de ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{1}}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{2}}$ transformant le point ${\displaystyle M}$ en ${\displaystyle h(M)=\pi _{2}\circ \varphi (m)}$, ${\displaystyle m}$ désignant un représentant de ${\displaystyle M}$. Naturellement pour que cette définition soit cohérente, nous devons vérifier qu'elle ne dépend pas du représentant choisi, ce qui est immédiat vu la linéarité de ${\displaystyle \varphi }$ et la définition de ${\displaystyle \pi _{2}}$.

L'application ${\displaystyle h}$ est l'homographie associée à ${\displaystyle \varphi }$. Elle est de façon plus concise définie par l'égalité : ${\displaystyle \pi _{2}\circ \varphi =h\circ \pi _{1}}$.

On peut aussi parler plus généralement d'application projective, en n'exigeant pas l'injectivité de l'application linéaire ${\displaystyle \varphi }$ initiale ; le même procédé de passage au quotient fournira une application définie seulement sur une partie de ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{1}}$ : ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{1}-\pi _{1}^{-1}(\ker(\varphi ))}$, et à valeurs dans ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{2}}$. On ne parlera pas alors d'homographie.

Il existe une infinité d'applications linéaires associées à une homographie mais ces applications linéaires forment une droite vectorielle de ${\displaystyle {\mathcal {L}}(E_{1},E_{2})}$ puisque ${\displaystyle h_{1}=h_{2}}$ entraîne ${\displaystyle \pi _{2}\circ \varphi _{1}=\pi _{2}\circ \varphi _{2}}$.

En dimensions finies p,n, si on dispose d'un système de coordonnées homogènes, une homographie pourra être définie par une classe de matrices non nulles de format (n+1)*(p+1) toutes multiples de l'une d'elles. A étant une de ces matrices et X une matrice-colonnes de coordonnées homogènes de ${\displaystyle M}$, AX sera matrice colonne de coordonnées homogènes de ${\displaystyle h(M)}$ (tout ceci étant donc défini à un facteur près).

Exemple et discussion (géométrie plane).

Nous prenons pour ${\displaystyle E_{1}}$ et ${\displaystyle E_{2}}$ l'espace ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{1}={\mathcal {P}}_{2}}$ est le plan projectif ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$. Envisageons une homographie ${\displaystyle h}$ définie par la matrice 3*3 A que nous supposons diagonalisable. On peut donc calculer les coordonnées homogènes des transformés de tout point.

Les 3 directions propres sont indépendantes et définissent 3 points invariants par ${\displaystyle h}$ de ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$. Ces 3 points ont respectivement comme matrices-colonne de coordonnées homogènes ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}}$ (vecteurs propres de la matrice, à un facteur non nul près).

Inversement la connaissance de ces 3 points invariants détermine-t-elle l'homographie, c'est-à-dire A, à un facteur près ? Pour cela il faudrait pouvoir calculer les valeurs propres de A (à un facteur de proportionnalité près toujours). Or on n'a évidemment aucun moyen pour cela en ne connaissant que les directions propres.

Par contre si on se donne par exemple le transformé du point de coordonnées homogènes ${\displaystyle X_{1}+X_{2}+X_{3}}$ en le point de coordonnées homogènes ${\displaystyle Y}$, on aura en désignant par ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$ les valeurs propres de A: ${\displaystyle \lambda _{1}X_{1}+\lambda _{2}X_{2}+\lambda _{3}X_{3}=kY,k}$ quelconque non nul, ce qui permet bien de calculer en résolvant le système les valeurs propres à un coefficient de proportionnalité près.

Les 4 points (les 3 points invariants plus le 4^e défini ci-dessus) définissent un repère projectif (voir plus haut) et la connaissance de la transformation de ce repère projectif détermine entièrement l'homographie.

Exemple d'homographie

Les transformations par polaires réciproques.

Bibliographie

• Marcel Berger, Géométrie [détail des éditions] (t. 1)
• (en) H.S.M.Coxeter, Projective Geometry, Springer-Verlag, 1994
• (en) H.S.M.Coxeter, The real projective plane, Cambridge University Press, reprinted, 1961
• Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 (ISBN 978-2-91-635208-4)
• De la Géométrie Projective à la Géométrie Euclidienne, L'Hexagramme Mystique de Pascal
• Federigo Enriques, Leçons de géométrie projective, Gauthier-Villard Paris, 1930
• Petite Encyclopédie de mathématique, Didier
• Jean Fresnel, Méthodes modernes en géométrie
• Daniel Lehmann et Rudolphe Bkouche, Initiation à la géométrie, PUF, 1988 (ISBN 2 13 040160 0)
• Jean-Claude Sidler, Géométrie projective, InterEditions, 1993
• Pierre Samuel, Géométrie projective, PUF, 1986
• Robert Rolland, Géométrie projective, Ellipses 2015
• Paul Rossier, Géométrie synthétique moderne,Vuibert Paris, 1960

Liens externes

• Nicolas Jacon, « Géométrie projective », sur CNRS
• Daniel Perrin, « Géométrie projective plane et applications aux géométries euclidienne et non euclidiennes »