Cas général

Le circuit orienté C délimite une surface ouverte S. Cette surface est traversée par un champ magnétique ${\displaystyle {\vec {B}}}$. Le vecteur ${\displaystyle {\vec {n}}}$, unitaire et normal, oriente la surface.

Un circuit électrique, représenté par un contour C orienté arbitrairement, soumis à un flux magnétique Φ variable (issu d'un champ magnétique ${\displaystyle {\vec {B}}}$ variable) est le siège d'une force électromotrice e telle que^[1] :

$${\displaystyle e=-{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}}$$

où :

• e est la force électromotrice (f.é.m) induite (ou d'induction). Elle correspond à la circulation du champ électrique ${\displaystyle {\vec {E}}}$ induit par la variation de flux magnétique. Elle est donc telle que : ${\displaystyle \textstyle e=\oint _{C}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}}$;
• Φ est le flux magnétique variable. Il est donc tel que : ${\displaystyle \textstyle \Phi =\iint _{S}{\vec {B}}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} S}$, avec S la surface délimitée par le contour C, et ${\displaystyle {\vec {n}}}$ le vecteur unitaire normal à la surface élémentaire dS et orienté selon la règle du tire-bouchon de Maxwell.

Cas d'un circuit immobile

Dans le cas où le circuit est immobile dans le référentiel d'étude, l'expression peut se mettre sous la forme suivante :

$${\displaystyle \oint _{C}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=-\iint _{S}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} S}$$

Cas d'un circuit mobile

On considère à présent le cas où le circuit C est en mouvement à la vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$ dans le référentiel d'étude.

En remarquant que la dérivée totale du flux magnétique s'écrit selon la règle d'intégration de Leibniz dans un espace à trois dimensions^[2] : ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{S}{\vec {B}}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} S=\iint _{S}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} S+\oint _{C}({\vec {B}}\wedge {\vec {v}})\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}}$, la loi de Faraday prend alors la forme suivante:

$${\displaystyle e=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{S}{\vec {B}}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} S=-\iint _{S}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} S+\oint _{C}{\vec {v}}\wedge {\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}}$$

On remarque la présence d'un terme supplémentaire par rapport à l'équation dans le cas d'un circuit immobile. Ce terme dépend de la vitesse relative du circuit par rapport à l'observateur, dans une forme qui est celle du travail de la force de Lorentz. On trouvera une autre façon tout aussi intéressante de présenter le cas des circuits mobiles dans la référence^[3].

Démonstration

Les variations de flux de ${\displaystyle {\vec {B}}}$ à travers la surface Σ créent un champ électrique induit ${\displaystyle {\vec {E}}}$ dont la circulation le long du contour Γ est la f.é.m induite e. Le vecteur unitaire ${\displaystyle {\vec {n}}}$ représente la normale à la surface Σ.

Soit Σ une surface immobile quelconque de l'espace ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$, orientée par le vecteur unitaire normal ${\displaystyle {\vec {n}}}$. Cette surface est traversée par un champ magnétique dont on suppose la cause extérieure. Le flux de ${\displaystyle {\vec {B}}}$ à travers Σ est :

${\displaystyle \Phi =\iint _{\Sigma }{\vec {B}}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} \Sigma }$.

La force électromotrice e est égale à la circulation du champ électrique sur le contour orienté Γ délimitant la surface Σ :

${\displaystyle e=\oint _{\Gamma }{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}}$.

D'après le théorème de Stokes, on a :

${\displaystyle e=\iint _{\Sigma }\left({\vec {\nabla }}\wedge {\vec {E}}\right)\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} \Sigma }$

Ainsi, la loi de Faraday, qui s'écrit ${\displaystyle \textstyle e=-{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}}$, donne lieu à l'égalité suivante :

${\displaystyle e=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\iint _{\Sigma }{\vec {B}}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} \Sigma }=-{\iint _{\Sigma }{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {B}}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} \Sigma }}$.

On obtient donc deux expressions intégrales de la f.é.m e. Celles-ci étant valables quelle que soit la surface Σ, les intégrandes sont égaux, et ainsi :

$${\displaystyle {\vec {\nabla }}\wedge {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$$

On retrouve l'expression de l'équation de Maxwell-Faraday. Réciproquement en reprenant les étapes dans l'autre sens on retrouve la forme intégrale de la loi.

Article connexe

• Paradoxe de Faraday

Bibliographie

• [Jackson] John David Jackson (trad. de l'anglais par Christian Jeanmougin), Électrodynamique classique, Paris, Dunod, coll. « Sciences Sup », 2001, 880 p., 17,5 x 25 cm (ISBN 2-10-004411-7)

Liens externes

• [PDF] « Cours sur l'induction électromagnétique » (version du 5 mars 2016 sur Internet Archive)