Démonstration

On part de l'expression de la densité spectrale émise par un corps noir (Loi de Planck). On travaille en termes de pulsation ${\displaystyle \omega }$. Si u est l'énergie interne par unité de volume (${\displaystyle u={\frac {\partial U}{\partial V}}}$), la densité spectrale est l'énergie des photons de pulsation comprise entre ${\displaystyle \omega }$ et ${\displaystyle \omega +d\omega }$ :

${\displaystyle u_{\omega }={\frac {\partial u}{\partial \omega }}={\frac {\hbar }{c^{3}\pi ^{2}}}{\frac {\omega ^{3}}{\exp \left({\frac {\hbar \omega }{k_{B}T}}\right)-1}}}$

Note : si on veut travailler en longueur d'onde, on peut écrire que ${\displaystyle u_{\lambda }={\frac {\partial u}{\partial \lambda }}={\frac {\partial u}{\partial \omega }}{\frac {d\omega }{d\lambda }}}$.

En effet, ${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi c}{\lambda }}}$ donc ${\displaystyle d\omega =-2\pi c{\frac {d\lambda }{\lambda ^{2}}}}$ et

${\displaystyle u_{\lambda }=-{\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{B}T}}-1}}}$

Dans la suite de l'article, on ne travaillera qu'en pulsation, sachant que tous les calculs peuvent être effectués en utilisant ${\displaystyle \lambda =2\pi {\frac {c}{\omega }}}$

La notation ħ ("h barre") désigne la constante de Planck réduite^{[alpha 2]}.

On cherche maintenant à exprimer la puissance surfacique totale (pour toutes les pulsations) émise par un corps noir. On montre que si ${\displaystyle \varphi _{e}}$ est la puissance émise par une unité de surface d'un corps noir, on a ${\displaystyle {\frac {d\varphi _{e}}{d\omega }}={\frac {c}{4}}u_{\omega }}$. La puissance totale étant obtenue en sommant toutes ces puissances pour chaque pulsation, on cherche à calculer ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\hbar }{4\pi ^{2}c^{2}}}{\frac {\omega ^{3}}{e^{\frac {\hbar \omega }{k_{B}T}}-1}}\,d\omega }$ En effectuant le changement de variable ${\displaystyle x={\frac {\hbar \omega }{k_{B}T}}}$, on obtient

${\displaystyle P_{\text{surfacique}}={\frac {(k_{B}T)^{4}}{4\pi ^{2}c^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx=\sigma T^{4}}$

avec ${\displaystyle \sigma ={\frac {k_{B}^{4}}{4\pi ^{2}c^{2}\hbar ^{3}}}{\frac {\pi ^{4}}{15}}={\frac {\pi ^{2}k_{B}^{4}}{60c^{2}\hbar ^{3}}}\approx 5{,}670\,374\times 10^{-8}\ \mathrm {W} \cdot \mathrm {m} ^{-2}\cdot \mathrm {K} ^{-4}}$.

Température du Soleil

Grâce à cette loi, Stefan détermina également la température de la surface du Soleil. Il apprend, des données de Jacques-Louis Soret (1827–1890), que le flux énergétique du Soleil est 29 fois plus grand que celui d'une lamelle de métal chauffée. Soret avait placé une lamelle circulaire devant son appareil de mesure, à une distance telle qu'elle apparaissait sous le même angle que le Soleil. Il avait estimé la température de la lamelle entre 1 900 °C et 2 000 °C ^[1].

Stefan estime que le tiers du flux énergétique du Soleil est absorbé par l'atmosphère terrestre (la mesure précise de l'absorption atmosphérique ne fut pas réalisée avant 1888 et 1904), ainsi il corrige ce rapport du facteur 3/2 : 29 × 3/2 = 43,5. Stefan retient pour la température de la lamelle de Soret la valeur moyenne des mesures de température, soit 1 950 °C, ce qui correspond à une température absolue de 2223 K.

L'application de sa loi conduit à une température du Soleil égale à 43,5^0,25 soit 2,568 fois la température de la lamelle ; ainsi Stefan obtient une valeur de 5709 K (5436 °C) (la valeur est actuellement de 5780 K, 5507 °C). Ce fut la première estimation sérieuse de la température du Soleil : les valeurs précédemment avancées variaient entre 1 800 °C à 13 000 000 °C en raison de relations rayonnement-température inadaptées.

Température d'équilibre à la surface d'une planète

La température d'équilibre à la surface d'une planète est la température théorique d'une planète considérée comme un corps noir et dont la seule source de chaleur serait l'étoile parente, une fois déduit le rayonnement simplement réfléchi en raison de l'albedo. Dans ce modèle, la "surface" n'est pas le sol, mais le lieu (dans l'atmosphère) qui, vu de l'espace, émet le rayonnement de la planète. La température au sol sera donc plus élevée en raison de "l'effet de serre", mais n'est pas considérée.

Certains auteurs utilisent d'autres termes, tels température équivalente de corps noir d'une planète^[2] ou température effective de rayonnement d'une planète^[3]. Des concepts semblables incluent la température moyenne globale et la température de l'air de surface globale moyenne^[2] qui incluent les effets de l'effet de serre.

Rayon des étoiles

Avec la loi de Stefan-Boltzmann, les astronomes peuvent estimer le rayon des étoiles dont la distance (et donc la luminosité absolue) est connue : en effet, en approximant le spectre d'émission d'une étoile par celui d'un corps noir à une certaine température T, la luminosité ${\displaystyle L}$ d'une étoile s'écrit :

${\displaystyle L=4\pi \sigma R^{2}T^{4}}$

où, L est la luminosité, ${\displaystyle \sigma }$ est la constante de Stefan-Boltzmann (ou constante de Stefan), R le rayon de l'étoile, et T sa température. Le travail de l'astronome consistera donc à évaluer la distance et la température de l'étoile. Notons toutefois que le spectre réel d'une étoile diffère en général plus ou moins notablement du spectre d'émission d'un corps noir. La température est donc ici une température effective : celle qui permet, à l'aide d'un spectre de corps noir, d'approximer au mieux le spectre réel de l'étoile. Cette méthode fournit de bons ordres de grandeurs plutôt qu'une mesure précise des rayons stellaires.

Par ailleurs, cette loi est également respectée dans la thermodynamique des trous noirs pour le rayonnement de Hawking.

Notes

Références