Barrière rectangulaire simple, associations de barrières simples

La plupart des particularités de l'effet tunnel apparaissent lors de la considération de la barrière de potentiel la plus simple, une barrière rectangulaire symétrique, pour laquelle le potentiel est constant (égal à U) entre les points a et b, et nul à droite et à gauche. Dans ce cas les vecteurs d'onde incident (réfléchi) et transmis ont même module, noté ${\displaystyle k={\sqrt {2mE}}/\hbar }$ tandis que la partie intérieure de la fonction d'onde est de la forme ${\displaystyle Ae^{Kx}+Be^{-Kx}}$ avec ${\displaystyle K={\sqrt {2m(U-E)}}/\hbar }$.

Pour les calculs on se place dans le repère où ${\displaystyle a=0}$. La condition de continuité en 0 de la fonction d'onde et de sa dérivée s'écrit :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}A={\frac {1}{2}}[1+r+{\frac {ik}{K}}(1-r)]\\B={\frac {1}{2}}[1+r-{\frac {ik}{K}}(1-r)]\end{array}}\right.}$

La condition de continuité en ${\displaystyle b}$ :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}A={\frac {t}{2}}[1+{\frac {ik}{K}}]e^{ikb-Kb}\\B={\frac {t}{2}}[1-{\frac {ik}{K}}]e^{ikb+Kb}\end{array}}\right.}$

De ces équations on évalue les complexes r, t et la transmitivité :

${\displaystyle t={\frac {2ikK}{e^{ikd}}}{\frac {1}{(k^{2}-K^{2})\sinh(Kd)+2ikK\cosh(Kd)}}\quad ,\quad T=|t|^{2}={\frac {4K^{2}k^{2}}{(K^{2}+k^{2})^{2}\sinh ^{2}(Kd)+4K^{2}k^{2}}}}$ ,

avec ${\displaystyle d=b-a}$ l'épaisseur de la barrière.

Dans le cas de barrière épaisse (${\displaystyle \mathrm {K} d}$ grand), l'on obtient la formule simple à retenir :

${\displaystyle T=16{\frac {\mathrm {K} ^{2}k^{2}}{(\mathrm {K} ^{2}+k^{2})^{2}}}\;\exp(-2\mathrm {K} d)}$ .

Dans ce cas là, on peut considérer la transmitivité comme le produit obtenu par l'approche BKW (cf. infra le terme exponentiel) par un préfacteur qui n'est que le produit des modules carrés des coefficients de transmission propres aux interfaces d'entrée et de sortie.

Cette structure est une forme simplifiée de celle qui apparaît dans le cas d'une barrière de forme quelconque décomposée comme une série de barrières rectangulaires. La structure du calcul repose alors sur la prise en compte d'une écriture matricielle des équations, reliant les composantes progressive et régressive dans chaque couche, permettant l'établissement de la matrice de transfert du mode stationnaire entre l'espace d'entrée et l'espace de sortie.

Cette méthode est illustrée sur le cas d'une structure rencontrée en électronique ou optique, la barrière tunnel résonnante, constituée d'une barrière d'entrée d'une partie interne de potentiel bas (puits de potentiel, de largeur L) et d'une barrière de sortie (cf. schéma). On montre que, dans le cas où le potentiel dans le puits est constant (définissant un vecteur d'onde réel ${\displaystyle k_{3}={\sqrt {2m(U_{b}-E)}}/\hbar }$), la transmitivité de la barrière peut s'écrire :

${\displaystyle T={\frac {T_{E}\;T_{S}}{|1+\,{\mathcal {R}}_{E}\,{\mathcal {R}}_{S}\;\exp(2ik_{3}L)|^{2}}}}$  ;

dans le numérateur apparaissent les transmitivités des barrières d'entrée et de sortie, et le dénominateur contient, outre les coefficients de réflexion en amplitude des barrières d'entrée de sortie, vues depuis l'intérieur du puits central, un terme exponentiel dont les variations (en fonction de l'énergie et/ou l'épaisseur) sont sources de résonances possibles (la formule est bonne pour des formes quelconques des barrières d'entrée et de sortie).

Barrière trapézoïdale

La barrière trapézoïdale est obtenue par l'application d'une différence de potentiel entre les deux extrémités de la barrière rectangulaire simple. Ce qui donne le schéma suivant, qui offre l'avantage d'admettre des solutions analytiques exactes ; en effet, pour cette barrière l'expression de la fonction d'onde, à l'intérieur est une combinaison linéaire de fonctions d'Airy, Ai et Bi, que l'on peut raccorder aux ondes planes solutions dans les parties gauches et droites.

Un cas particulier apparaît dans le cadre de cette description. Si la différence de potentiel est suffisamment importante pour que la barrière montre l'existence d'un point classique de retour (passage d'une partie tunnel à une partie classique, au point ${\displaystyle x_{2}}$), on obtient alors l'effet d'émission de champ, couramment utilisé en microscopie électronique. La particule, située dans la bande de conduction à gauche, traverse par effet tunnel et se trouve accélérée vers l'extérieur, à droite.

Éventuellement, selon les valeurs de l'énergie et la forme de la barrière, des résonances de transmitivité peuvent apparaître, dues au saut de potentiel sur la marche de droite. Cette résonance a certains traits communs avec ceux de l'effet Ramsauer. Le schéma ci-contre correspond à une accumulation d'instantanés de la densité de présence associée à un paquet d'onde incident depuis le bas à gauche. L'effet de résonance se manifeste ici par l'apparition des trois maxima dans la partie classique de la barrière. Au terme de la traversée les parties réfléchies et transmises s'éloignent vers le haut de la figure, à gauche et à droite respectivement.

Approximation BKW

Dans le cas où la barrière de potentiel présente un profil doux, il est possible de montrer, à partir de l'équation de Schrödinger, ou à partir d'une discrétisation fine du potentiel en une série de petites barrières rectangulaires successives, que la fonction d'onde, en un point de coordonnée x dans la barrière peut s'écrire :

${\displaystyle \varphi _{BKW}(x)={\frac {1}{\sqrt {k(x)}}}\;\left[A\exp \left(i\int ^{x}\,du\,k(u)\right)+B\exp \left(-i\int ^{x}\,du\,k(u)\right)\right].}$

Cette approximation, étudiée par Brillouin, Kramers et Wentzel, est manifestement non valide pour les points classiques de retour, ${\displaystyle x_{1}\;,\;x_{2}}$ (cf. schéma), où le potentiel V(x) est égal à l'énergie E de l'état (k(x) est alors nul), il faut procéder avec quelque soin au raccordement de part et d'autre de ces points.

Dans le cadre de l'étude de la transmitivité cette expression est surtout utile dans le cas tunnel, où k(x) devenant imaginaire pur, les deux exponentielles apparaissant dans l'expression ci-dessus correspondent à des termes décroissant de la gauche vers la droite (terme facteur de la constante A) et décroissante de la droite vers la gauche (terme facteur de B). Dans le cas d'une onde incidente venant de gauche, et pour les barrières suffisamment larges, la source de la partie régressive (expression B) est minime. La transmitivité due à cette partie tunnel est alors obtenue par la considération de la diminution de l'amplitude de l'onde entre les points classiques de retour d'entrée et de sortie, soit :

${\displaystyle T_{BKW}=\exp \left[-2\;\int _{x_{1}}^{x_{2}}\;du\;\mathrm {K} (u)\right]\quad$ ;\quad \mathrm {K} (u)={\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V(u)-E)}}\;.}

C'est cette expression qu'il faut alors calculer, par la méthode du potentiel inversé, par exemple. Cette approximation doit être corrigée par des préfacteurs, caractéristiques des potentiels à forte pente (saut de potentiel), que l'on rencontre à l'interface entre deux matériaux, et qui sont monnaies courantes dans les composants électroniques actuels (puits quantiques).

Application à la radioactivité alpha

La barrière de potentiel que doit traverser la particule alpha, d'énergie E, après son apparition aléatoire au sein du noyau de numéro atomique Z, est transformée en un puits coulombien, dont les niveaux d'énergies sont ceux d'un hydrogénoïde. Ceci permet le calcul du nombre n(E) directement à partir de formules bien connues :

${\displaystyle E=-{\frac {me^{4}(Z-2)2}{2\hbar ^{2}}}\times {\frac {1}{n^{2}(E)}}\,,}$

où apparaissent la masse réduite, et les charges de la particule alpha et du noyau fils (numéro atomique Z-1).

Le report du nombre n(E) dans l'expression de la transmitivité révèle alors le comportement observé de la demi-vie (proportionnelle à l'inverse de la transmitivité) des émetteurs alpha en fonction de ${\displaystyle {\sqrt {E}}}$, énergie de la particule rencontrant la barrière.

Application à l'effet Fowler-Nordheim

Sous l'action d'un champ électrique F, on peut faire sortir des électrons d'un métal (charge q, masse m, énergie E par rapport au bas de la bande de conduction), en particulier d'un métal alcalin de travail de sortie ${\displaystyle \Phi }$. L'électron est alors soumis à un potentiel triangulaire qui peut, en première approximation, être traité par la méthode BKW : la transmitivité qui s'en déduit (compte tenu des points classiques de retour ${\displaystyle x_{1}=0}$ et ${\displaystyle x_{2}=(\Phi -E)/qF)}$) est

${\displaystyle T_{BKW}=\exp \left[-2\;\int _{x_{1}}^{x_{2}}\;{\text{d}}u\;\mathrm {K} (u)\right]\;=\;\exp \left[-2\;{\frac {\sqrt {2m}}{\hbar qF}}\int _{0}^{\Phi -E}\;{\text{d}}X\;{\sqrt {X}}\right]}$

${\displaystyle \qquad =\exp \left[-\;{\frac {4{\sqrt {2m}}}{3\hbar qF}}(\Phi -E)^{3/2}\right]\;.}$

L'obtention du courant tunnel doit bien sûr tenir compte de la distribution en énergie et direction de l'ensemble des électrons de la bande, pour la température du conducteur.

Ici aussi la transmissivité aurait pu être obtenue en utilisant un potentiel retourné. Il s'agit alors du demi-puits de Torricelli, dont les niveaux d'énergie peuvent être calculés et permettre l'obtention du nombre n(E).