En exprimant une hauteur de deux manières

Fig.2

On considère un triangle de côtés a, b, et c, et α, β, γ ses angles aux sommets A, B, et C respectivement. La hauteur issue de C divise le triangle ABC en deux triangles rectangles. Notons h cette hauteur ; on peut appliquer la définition du sinus dans les deux petits triangles rectangles pour exprimer h :

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {h}{b}}{\text{ et }}\sin \beta ={\frac {h}{a}}.}$

Dont on tire deux expressions pour h :

${\displaystyle h=b\sin \alpha =a\sin \beta \,}$

et donc :

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}.}$

En faisant de même avec la hauteur issue de A on obtient :

${\displaystyle {\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}.}$

Par le calcul de l'aire du triangle

L'aire S du triangle peut se calculer en choisissant le côté AB = c comme base et h comme hauteur. On obtient alors :

${\displaystyle S={\frac {c\times h}{2}}={\frac {c\times b\sin \alpha }{2}}.}$

En multipliant par ${\displaystyle {\tfrac {a}{S\sin \alpha }}}$, on en déduit :

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {abc}{2S}}.}$

Par symétrie des notations,

${\displaystyle {\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {abc}{2S}}\quad {\rm {et}}\quad {\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {abc}{2S}}.}$

Par le théorème de l'angle inscrit

En remplaçant C par le point D diamétralement opposé à A sur le cercle circonscrit, on trouve (Fig. 3 et 4)^[2],[3] :

${\displaystyle \sin \gamma ={\frac {c}{2R}}\quad {\rm {donc}}\quad {\frac {c}{\sin \gamma }}=2R.}$

Si A et B sont diamétralement opposés, cette construction n'est pas possible mais l'égalité est immédiate (Fig. 5).

On démontre de même que

${\displaystyle {\frac {b}{\sin \beta }}=2R\quad {\rm {et}}\quad {\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.}$