Histoire de la trigonométrie

Applications

Les applications de la trigonométrie sont extrêmement nombreuses. En particulier, elle est utilisée en astronomie et en navigation avec notamment la technique de triangulation. Les autres champs où la trigonométrie intervient sont (liste non exhaustive) : physique, électricité, électronique, mécanique, acoustique, optique, statistiques, économie, biologie, chimie, médecine, météorologie, géodésie, géographie, cartographie, cryptographie, informatique etc.

Identité remarquable

Quel que soit le réel ${\displaystyle a}$, on a (d'après le théorème de Pythagore):

${\displaystyle \cos ^{2}a+\sin ^{2}a=1\,}$

Formules d'addition et de différence des arcs

Les deux formules principales sont les formules d'addition pour le cosinus et le sinus :

${\displaystyle \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b}$ ;

${\displaystyle \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b}$.

On en déduit celle pour la tangente :

${\displaystyle \tan(a+b)={\frac {\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}}}$,

ainsi que les formules de différence (en remplaçant B par -B, sachant que la fonction cosinus est paire et les fonctions sinus et tangente sont impaires).

Formules de multiplication des arcs

${\displaystyle \cos(2a)=\cos ^{2}a-\sin ^{2}a=2\cos ^{2}a-1=1-2\sin ^{2}a\,}$

${\displaystyle \sin(2a)=2\sin a\cos a\,}$

${\displaystyle \tan(2a)={\frac {2\tan a}{1-\tan ^{2}a}}\,}$

${\displaystyle \sin(3a)=3\sin a-4\sin ^{3}a\,}$

${\displaystyle \cos(3a)=-3\cos a+4\cos ^{3}a\,}$

${\displaystyle \tan(3a)={\frac {3\tan a-\tan ^{3}a}{1-3\tan ^{2}a}}}$

Formules de développement et de factorisation (formules de Simpson)

Des formules d'addition et de différence (voir supra), on déduit :

Développement

${\displaystyle \cos a\cos b={\frac {\cos(a-b)+\cos(a+b)}{2}}}$, en particulier ${\displaystyle \cos ^{2}a={\frac {1+\cos(2a)}{2}}}$,

${\displaystyle \sin a\sin b={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}}$, en particulier ${\displaystyle \sin ^{2}a={\frac {1-\cos(2a)}{2}}}$,

${\displaystyle \sin a\cos b={\frac {\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}}}$ ;

Factorisation

${\displaystyle \cos p+\cos q=2\cos {{p+q} \over 2}\cos {{p-q} \over 2}}$,

${\displaystyle \cos p-\cos q=-2\sin {{p+q} \over 2}\sin {{p-q} \over 2}}$,

${\displaystyle \sin p+\sin q=2\sin {{p+q} \over 2}\cos {{p-q} \over 2}}$.

Formules de l'arc moitié

Ces formules interviennent dans de très nombreux problèmes. En posant :

${\displaystyle t=\tan {\frac {a}{2}}}$,

on a :

${\displaystyle \sin a={\frac {2t}{1+t^{2}}}~,\qquad \cos a={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}~,\qquad \tan a={\frac {2t}{1-t^{2}}}}$.

Théorème d'Al-Kashi ou loi des cosinus

Les résultats donnés ici et dans les sections suivantes concernent les mesures en géométrie euclidienne. L'étude des mêmes questions en géométrie sphérique est faite à l'article Trigonométrie sphérique, et en géométrie hyperbolique à l'article Fonction hyperbolique.

Pour un triangle ABC de côtés a = BC, b = AC et c = AB, on a (loi des cosinus) :

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\,b\,c\,\cdot \cos {\widehat {A}}}$.

Cette formule a une importance particulière en triangulation et a servi à l'origine en astronomie. On doit au mathématicien Ghiyath al-Kashi, de l'école de Samarcande, de mettre le théorème sous une forme utilisable pour la triangulation au cours du XV^e siècle.

Remarque : lorsque ${\displaystyle {\hat {A}}=90^{\circ }}$ ou ${\displaystyle \pi /2}$, on a ${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}$, c'est-à-dire le théorème de Pythagore.

Résoudre un triangle

Résoudre un triangle, c’est, étant donné un côté et deux angles adjacents, ou un angle et deux côtés adjacents, ou à la rigueur deux côtés b et c et leur angle B, trouver le triangle correspondant, c’est-à-dire a, b, c, A, B et C (et vérifier une des règles non appliquée dans le processus).

On résout ce genre de problème à l’aide des formules précédentes (plus la formule de projection évidente a = b · cos C + c · cos B).

Par exemple :

Sur l’axe Ox, OB = 1 et OC = 1,5. OBM = 60° et OCM = 30°. Trouver M :

Faire l’épure ; M se trouve en (x = 0,75 ; y = 0,45) environ.

Raisonner : dans le triangle BMC, B = 120° et C = 30° donc M = 30° ; donc le triangle est isocèle en B et BM'= 0,5.

Puis ${\displaystyle CM=2\times 0,5\times \cos(C)={{\sqrt {3}} \over 2}}$.

Soit H la projection de M sur l’axe : HM = y et l'angle HMB vaut 30°.

${\displaystyle y={{\sqrt {3}} \over 4}\approx 0,43}$ et ${\displaystyle x=1-{1 \over 4}={3 \over 4}=0,75}$.

La distance ${\displaystyle OM={{\sqrt {3}} \over 2}=MC}$, l’azimut de M vaut 30°, et l’angle OMB vaut 90°.

Il est rare que ce soit aussi simple en pratique.

En général, on demande quatre à six chiffres significatifs. Les calculettes ont considérablement réduit le travail assez fastidieux de « réduction des triangles ». Rappelons que la mesure du degré de l’arc méridien terrestre de Paris s’est effectuée de la sorte entre Malvoisine et Montlhéry par l’abbé Picard, dans le milieu du XVII^e siècle.

Aire du triangle

L'aire A du triangle se détermine à l'aide de la longueur de deux côtés et du sinus de l'angle qu'ils forment :

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}a\times b\times \sin {\widehat {C}}}$.

D'une telle égalité, appliquée à chaque sommet du triangle, on peut déduire la loi des sinus.

La formule précédente, complétée par la loi des cosinus, permet également d'établir la formule de Héron :

${\displaystyle A={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$,

où a, b et c sont les longueurs de ses côtés et p désigne le demi-périmètre du triangle :

${\displaystyle p={(a+b+c) \over 2}}$.

Flèche et onglet d'un arc de cercle

• Flèche d’une corde AB sous-tendant l’arc AB avec ${\displaystyle {\widehat {AOB}}=2\alpha }$ : soit I le milieu de AB, et CD le diamètre passant par I ; alors avec f = ID ou f = IC :

  ${\displaystyle f\cdot (2R-f)=(R\cdot \sin(\alpha ))^{2}}$

• Aire de l'onglet :

  ${\displaystyle S=R^{2}\cdot \left[\alpha -{{\sin(2\alpha )} \over 2}\right]}$ ;

  Quand α est petit, on compare cette aire à celle de la parabole osculatrice ${\displaystyle {2 \over 3}\cdot f\cdot AB}$ (théorème d'Archimède) : la différence est d'ordre supérieur à trois.

Formules de Machin

John Machin a été le premier à calculer π avec 100 décimales, en 1706, grâce à sa formule. Des formules de ce type ont été utilisées jusqu’à nos jours, pour calculer un grand nombre de décimales de π.

Polygones réguliers

• Le polygone à 17 côtés (heptadécagone) est constructible à la règle et au compas (théorème de Gauss-Wantzel).
• L’heptagone et l’ennéagone ne sont pas constructibles. En revanche, on peut construire par pliage l’heptagone et l’ennéagone.
  • On prouve que pour ${\displaystyle a={{2\pi } \over 7}}$ (intervenant dans la construction de l’heptagone par pliage), on a : ${\displaystyle \sin(a)\cdot \sin(2a)\cdot \sin(3a)={{\sqrt {7}} \over 8}}$ , ${\displaystyle \quad \cos(a)+\cos(2a)+\cos(3a)=-{1 \over 2}\quad }$ et ${\displaystyle \quad \cos(a)\cdot \cos(2a)\cdot \cos(3a)={1 \over 8}}$.
  • Des formules semblables existent pour l'ennéagone, pour ${\displaystyle a={{2\pi } \over 9}}$ :${\displaystyle \sin(a)\cdot \sin(2a)\cdot \sin(4a)={{\sqrt {3}} \over 8}}$ , ${\displaystyle \quad \cos(a)+\cos(2a)+\cos(4a)=0\quad }$ et ${\displaystyle \quad \cos(a)\cdot \cos(2a)\cdot \cos(4a)={1 \over 8}}$.

Articles connexes

• Lexique de la trigonométrie
• Cercle unité
• Cercle trigonométrique
• Fonction hyperbolique
• Sens trigonométrique
• Trigonométrie complexe
• Trigonométrie sphérique
• Trigonométrie de Wildberger
• Formules trigonométriques en kπ/7
• CORDIC
• Table de lignes trigonométriques exactes